Question

（2012•菏澤一模）在等比數(shù)列{a_n}中，a_n＞0（n∈N₊），公比q∈（0，1），且a₃a₅+2a₄a₆+a₃a₉=100，又4是a₄與a₆的等比中項．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₂a_n，求數(shù)列{|b_n|}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I） 因為a₃a₅+2a₄a₆+a₃a₉=100，所以（a₄+a₆）²=100，由a_n＞0，得a₄+a₆=10，由4為a₄與a₆的等比中項，得a₄•a₆=16，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（II）由b_n=log₂a_n=7-n，得{b_n}的前n項和T_n=

n(13-n)

2

，由此能求出數(shù)列{|b_n|}的前n項和S_n．

解答：解：（I）因為a₃a₅+2a₄a₆+a₃a₉=100，即a42+2a4a6+a62=100，
∴（a₄+a₆）²=100，
又∵a_n＞0，∴a₄+a₆=10，…（2分）
又∵4為a₄與a₆的等比中項，∴a₄•a₆=16，…（3分）
∴a₄，a₆是方程x²-10x+16=0的兩個根，
而q∈（0，1），∴a₄＞a₆，∴a₄=8，a₆=2，…（4分）
∴

a1q3=8 a1q5=2

，解得a1=64，q=

1

2

，
∴an=64•(

1

2

)n-1=2^7-n．…（6分）
（II）b_n=log₂a_n=7-n，
則{b_n}的前n項和T_n=

n(13-n)

2

，
∴當(dāng)1≤n≤7時，b_n≥0，∴Sn=

n(13-n)

2

，…（8分）
當(dāng)n≥8時，b_n≤0，S_n=b₁+b₂+…+b₇-（b₈+b₉+…+b_n） …（10分）
=-（b₁+b₂+…+b_n）+2（b₁+b₂+…+b₇）
=-

n(13-n)

2

+2×

7×(6+0)

2

=

n2-13n+84

2

，
∴Sn=

13n-n2 2 ，(1≤n≤7，且n∈N*) n2-13n+84 2 (n≥8，且n∈N*)

．…（13分）

點評：本題考查等比數(shù)列、等差數(shù)列有關(guān)性質(zhì)及求和的應(yīng)用，是中等題．解題時要認(rèn)真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．