已知直線l:(m+2)x+(2m-3)y+(7-14m)=0與圓C:x2+y2-6x-8y+21=0
(1)求證:對于任意實數(shù)m,l與圓C恒有兩個交點(diǎn)A,B
(2)當(dāng)AB最小時,求l的方程.
分析:(1)將直線l方程變形,根據(jù)題意求出x與y的值,確定出直線恒過點(diǎn)M坐標(biāo),將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,找出圓心C坐標(biāo)與半徑r,求出|MN|的長,與半徑比較大小即可得證;
(2)過圓內(nèi)一點(diǎn)的所有弦中,以直徑為最長,以垂直于直徑的弦長最小,求出直線MC的斜率,找出直線AB的斜率,表示出直線l方程即可.
解答:解:(1)直線系l:(m+2)x+(2m-3)y+(7-14m)=0,可以化成(2x-3y+7)+m(x+2y-14)=0,
∵方程組2x-3y+7=0;x+2y-14=0有解x=4;y=5,
∴l(xiāng)中的每一條都經(jīng)過點(diǎn)M(4,5),
圓C:(x-3)2+(y-4)2=4的圓心是N(3,4),半徑是r=2,
∵|MN|2=(4-3)2+(5-4)2=2<4=r2,
∴點(diǎn)M在圓C內(nèi),
則過M的每一條直線都與圓相交,并且交于不同的兩點(diǎn)A,B;
(2)過圓內(nèi)一點(diǎn)的所有弦中,以直徑為最長,以垂直于直徑的弦長最小,
此時kMC=
5-4
4-3
=1,∴kAB=-1,
∴直線l方程為y-5=-(x-4),即x+y-9=0,
則|AB|最小時,直線方程是x+y-9=0.
點(diǎn)評:此題考查了直線與圓的位置關(guān)系,涉及的知識有:恒過定點(diǎn)的直線方程,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,兩點(diǎn)間的距離公式,以及直線的點(diǎn)斜式方程,是一道綜合性較強(qiáng)的試題.
練習(xí)冊系列答案
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2
)
,點(diǎn)M(1,
2
)
在橢圓C上
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程
(Ⅱ)已知直線l:2x-y-2=0與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),求△MAB的面積
(Ⅲ)設(shè)P為橢圓C上一點(diǎn),若∠PMF=90°,求P點(diǎn)的坐標(biāo).

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