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如圖，已知曲線C：
x2
a2
+y2=1（a＞0），曲線C與x軸相交于A、B兩點，直線l過點B且與x軸垂直，點S是直線l上異于點B的任意一點，線段SA與曲線C交于點T，線段TB與以線段SB為直徑的圓相交于點M．
（I）若點T與點M重合，求
AT
•
AS
的值；
（II）若點O、M、S三點共線，求曲線C的方程．
分析：（I）設T（x0，y0），S（a，y1），由點A，T，S共線，確定直線方程，求得S的坐標，利用點T與點M重合時，有BT⊥AS，kSA•kBT=-1，得a的值，再利用
AT
•
AS
=AB2，即可求得結論；
（II）以線段SB為直徑的圓相交于點M點，又O、M、S三點共線，知BM⊥OS，∴BT⊥OS，由此可求a的值，從而可得曲線C的方程．
解答：解：（I）設T（x0，y0），S（a，y1），則
x02
a2
+y02=1，所以y02=1-
x02
a2

由點A，T，S共線有：
y0-0
x0+a
=
y1-0
a+a
，得：y1=
2a
x0+a
y0，即S（a，
2a
x0+a
y0）
當點T與點M重合時，有BT⊥AS，kSA•kBT=
y0
x0+a
×
y0
x0-a
=-1，得a=1．
∴
AT
•
AS
=AB2=（2a）2=4；
（II）以線段SB為直徑的圓相交于點M點，又O、M、S三點共線，知BM⊥OS，∴BT⊥OS
∴kSO•kBT=
2a
x0+a
y0
a
×
y0
x0-a
=-1，∴a2=2
∴所求曲線C的方程為
x2
2
+y2=1．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，解題的關鍵是確定a的值，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知曲線C：y=
1
x
，Cn：y=
1
x+2-n
(n∈N*)．從C上的點Qn（xn，yn）作x軸的垂線，交Cn于點Pn，再從Pn作y軸的垂線，交C于點Qn+1（xn+1，yn+1）．設x1=1，an=xn+1-xn，bn=yn-yn+1．
（I）求a1，a2，a3的值；
（II）求數列{an}的通項公式；
（III）設△PiQiQi+1（i∈N*）和面積為Si，記f(n)=
n
i=1
Si，求證f(n)＜
1
6
.

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知曲線C：y=
1
x
在點P（1，1）處的切線與x軸交于點Q1，過點Q1作x軸的垂線交曲線C于點P1，曲線C在點P1處的切線與x軸交于點Q2，過點Q2作x軸的垂線交曲線C于點P2，…，依次得到一系列點P1、P2、…、Pn，設點Pn的坐標為（xn，yn）（n∈N*）．
（Ⅰ）求數列{xn}的通項公式；
（Ⅱ）求三角形OPnPn+1的面積S△OPnPn+1
（Ⅲ）設直線OPn的斜率為kn，求數列{nkn}的前n項和Sn，并證明Sn＜
4
9
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知曲線C：y=
1
x
，Cn：y=
1
x+2-n
（n∈N*）．從C上的點Qn（xn，yn）作x軸的垂線，交Cn于點Pn，再過點Pn作y軸的垂線，交C于點Qn+1（xn+1，yn+1）設，x1=1，an=xn+1-xn，bn=yn -yn+1．
（1）求點Q1、Q2的坐標；
（2）求數列{an} 的通項公式；
（3）記數列{an•yn+1} 的前n項和為Sn，求證sn＜
1
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖：已知曲線C：在點P（1，1）處的切線與x軸交于點Q1，再過Q1點作x軸的垂線交曲線C于點P1，再過P1作C的切線與x軸交于點Q2，依次重復下去，過Pn（xn，yn）作C的切線與x軸交于點Qn（xn+1，O）．
（1）求數列{xn}的通項公式；
（2）求△OPnPn+1的面積；
（3）設直線OPn的斜率為kn，求數列nkn的前n項和Sn，并證明Sn＜
79
．

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