Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+3．
（Ⅰ）證明{a_n+3}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=log₂（a_n+3），求數(shù)列{

1

bn•bn+1

}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)_n+1=2a_n+3代入

an+1+3

an+3

化簡(jiǎn)，根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明結(jié)論，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）化簡(jiǎn)b_n，利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列{

1

bn•bn+1

}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： （Ⅰ）證明：由題意得，a_n+1=2a_n+3，
所以

an+1+3

an+3

=

2an+6

an+3

=2
又a₁=1，則a₁+3=4，
所以{a_n+3}是以4為首項(xiàng)、以2為公比的等比數(shù)列，
則a_n+3=4•2^n-1，即a_n=2ⁿ⁺¹-3；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，b_n=log₂（a_n+3）=n+1，
所以

1

bn•bn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
則T_n=（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）
=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是常考的題型．