Question

（2013•崇明縣二模）某省環(huán)保研究所對(duì)市中心每天環(huán)境放射性污染情況進(jìn)行調(diào)查研究后，發(fā)現(xiàn)一天中環(huán)境綜合放射性污染指數(shù)f（x）與時(shí)刻x（時(shí)） 的關(guān)系為f（x）=|

x

x2+1

-a|+2a+

2

3

，x∈[0，24]，其中a是與氣象有關(guān)的參數(shù)，且a∈[0，

1

2

]．
（1）令t=

x

x2+1

，x∈[0，24]，寫出該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并選擇其中一種情形進(jìn)行證明；
（2）若用每天f（x）的最大值作為當(dāng)天的綜合放射性污染指數(shù)，并記作M（a），求M（a）；
（3）省政府規(guī)定，每天的綜合放射性污染指數(shù)不得超過2，試問目前市中心的綜合放射性污染指數(shù)M（a）是否超標(biāo)？

Answer 1

分析：（1）單調(diào)遞增區(qū)間為[0，1]；單調(diào)遞減區(qū)間為[1，24]，利用單調(diào)性的定義可以證明；
（2）先確定t的取值范圍是[0，

1

2

]，再進(jìn)行分類討論，從而可得M（a）的解析式；
（3）利用分段函數(shù)，可得當(dāng)

1

4

＜a≤

4

9

時(shí)不超標(biāo)，從而可得結(jié)論．

解答：解：（1）單調(diào)遞增區(qū)間為[0，1]；單調(diào)遞減區(qū)間為[1，24]．
證明：任取0≤x₁＜x₂≤1，t（x₁）-t（x₂）=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

，
∵0≤x₁＜x₂≤1，∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，∴

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

＜0，∴t（x₁）-t（x₂）＜0．
所以函數(shù)t（x）在[0，1]上為增函數(shù)．（同理可證在區(qū)間[1，24]單調(diào)遞減）
（2）由函數(shù)的單調(diào)性知t_max（x）=t（1）=

1

2

，t_min（x）=t（0）=0，
∴t=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

∈[0，

1

2

]，∴t的取值范圍是[0，

1

2

]．
當(dāng)a∈[0，

1

2

]時(shí)，由于f（x）=|

x

x2+1

-a|+2a+

2

3

，則可記g（t）=|t-a|+2a+

2

3

則g（t）=

-t+3a+ 2 3 ，0≤t≤a t+a+ 2 3 ，a＜t≤ 1 2

∵g（t）在[0，a]上單調(diào)遞減，在（a，

1

2

]上單調(diào)遞增，
且g（0）=3a+

2

3

．g（

1

2

）=a+

7

6

∴g（0）-g（

1

2

）=2（a-

1

4

）．
故M（a）=

a+ 7 6 ，0≤a≤ 1 4 3a+ 2 3 ， 1 4 ＜a≤ 1 2

．
（3）當(dāng)0≤a≤

1

4

時(shí)，a+

7

6

≤2，∴a≤

5

6

，不滿足題意a∈[0，

1

2

]；
當(dāng)

1

4

＜a≤

1

2

時(shí)，3a+

2

3

≤2，∴a≤

4

9

，∴

1

4

＜a≤

4

9

時(shí)，滿足題意a∈[0，

1

2

]．
故當(dāng)

1

4

＜a≤

4

9

時(shí)不超標(biāo)，當(dāng)0≤a≤

1

4

時(shí)超標(biāo)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、考查求函數(shù)解析式及分類討論的思想，屬于實(shí)際應(yīng)用題．