Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），一焦點到其相應準線的距離為

1

2

，過點A（0，-b），B（a，0）的直線與原點的距離為

3

2

，
（1）求該雙曲線的方程；
（2）是否存在直線y=kx+5 （k≠0）與雙曲線交于相異兩點C，D，使得 C，D兩點都在以A為圓心的同一個圓上，若存在，求出直線方程；若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)焦點到其相應準線的距離求得b和c的關(guān)系，設出直線AB的方程，進而利用點到直線的距離公式求得a和b，則雙曲線的方程可得．
（2）假設直線存在，把直線與雙曲線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達定理表示出x₁+x₂和y₁+y₂，根據(jù)C，D兩點都在以A為圓心的同一個圓上推斷出|AC|=|AD|，進而求得CD中點的表達式，根據(jù)AM⊥CD，分別表示出其斜率，乘積為-1求得k，則直線方程可得．

解答：解：（1）因為焦點到其相應準線的距離為

1

2

，所以

b2

c

=

1

2

；
又因為過點A（0，-b），B（a，0）的直線與原點的距離為

3

2

；
可設直線方程為

x

a

-

y

b

=1，
由點到直線的距離公式得

ab

a2+b2

=

3

2

，解得a=

3

，b=1，
所以雙曲線方程為

x2

3

-y2=1
（2）假設存在直線y=kx+5（k≠0，）與雙曲線交于相異兩點C，D，使得C，D兩點都在以A為圓心的同一個圓上
∴

y=kx+5 x2 3 -y2=1

得（1-3k²）x²-30kx-78=0；可得

△＞o x1+x2= 30k 1-3k2 y1+y2= 30k2 1-3k2 +10

因為C，D兩點都在以A為圓心的同一個圓上；所以有|AC|=|AD|，
所以直線CD的中點坐標為M(

15k2

1-3k2

，

5

1-3k2

)
因為AM⊥CD，所以

5 1-3k2 +1

15k 1-3k2

=-

1

k

，解得k=±

7

，
所以直線方程為：y=±

7

x+5

點評：本題主要考查了雙曲線的標準方程和直線與雙曲線的關(guān)系．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．運算能力的考查．