Question

在正四面體S-ABC中，E為SA的中點(diǎn)，F(xiàn)為△ABC的中心，則直線EF與平面ABC所成的角的大小為（　�。�

• A．a(chǎn)rccos

  1

  3

• B．45°
• C．a(chǎn)rctan

  2

• D．a(chǎn)rctan

  2

  2

Answer 1

分析：要求直線EF與平面ABC所成的角的大小則根據(jù)線面角的定義需過點(diǎn)E向面ABC作垂線而垂足落在哪是關(guān)鍵，由于正四面體S-ABC中，E為SA的中點(diǎn)故可根據(jù)正四面體的對(duì)稱性可連接SF，則SF⊥平面ABC且取線段AF的中點(diǎn)G，連接EG則根據(jù)中位線定理可得EG∥SF即EG⊥平面ABC則點(diǎn)G即為點(diǎn)E在面ABC上的垂足故∠EFG即為EF與平面ABC所成的角然后再通過解RT△EGF求出∠EFG即可．

解答：解析：連接SF，則SF⊥平面ABC．連接AF并延長(zhǎng)交BC于H，取線段AF的中點(diǎn)G，連接EG，由E為SA的中點(diǎn)，則EG∥SF，
∴EG⊥平面ABC，
∴∠EFG即為EF與平面ABC所成的角．
設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為a，則AH=

3

2

a，且AF=

2

3

AH=

3

3

a；
在Rt△AGE中，AE=

a

2

，AG=

1

2

AF=

3

6

a，∠EGA=90°，
∴EG=

AE2-AG2

=

6

6

a．
在Rt△EGF中，F(xiàn)G=

1

2

AF=

3

6

a，EG=

6

6

a，∠EGF=90°，
∴tan∠EFG=

EG

FG

=

2

，
∴∠EFG=arctan

2

，即EF與平面ABC所成的角為arctan

2

，
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了線面角的求解，屬�？碱}，較難．解題的關(guān)鍵是利用線面角的定義做出線面角但再作線面角時(shí)過點(diǎn)E向面ABC作垂線而垂足在哪成為解決問題的關(guān)鍵這需利用正四面體的對(duì)稱性和中位線定理來過渡！