Question

給出下列四個命題，其中錯誤的命題有（　�。﹤�．
（1）函數(shù)f（x）=e^x-2的零點(diǎn)落在區(qū)間（0，1）內(nèi)；
（2）函數(shù)y=sin2x+cos2x在x∈[0，

π

2

]上的單調(diào)遞增區(qū)間是[0，

π

8

]；
（3）設(shè)A、B、C∈(0，

π

2

)，且sinA-sinC=sinB，cosA+cosC=cosB，則B-A 等于-

π

3

；
（4）方程sin²x+2sinx+a=0有解，則a的取值范圍是[-3，1]．

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：A中由根的存在性定理只需判斷f（0）f（1）的符號；B中函數(shù)y=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

），再利用三角函數(shù)的圖象進(jìn)行判斷；C中因?yàn)镾inA-SinC=SinB，所以sinc=sina-sinb，那么（sinC）²=（sinA-sinB）²=（sinA）²-2sinA•sinB+（sinB）²，因?yàn)镃osA+CosC=CoSB，所以cosC=cosB-cosA． 同理（cosC）²=（cosB）²-2cosA•cosB+（cosA）²，由此利用三角函知識進(jìn)行求解；D中，方程sin²x+2sinx+a=0在x∈R上有解，可以轉(zhuǎn)化為a=-sin²x-2sinx，x∈R．故令t=sinx∈[-1，1]，則方程轉(zhuǎn)化為a=-t²-2t，t∈[-1，1]，借助二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解．

解答：解：A中f（0）f（1）=-1（e-2）＜0，
由根的存在性定理函數(shù)函數(shù)f（x）=e^x-2的零點(diǎn)落在區(qū)間（0，1）內(nèi)；
B中函數(shù)y=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

），它在x∈[0，

π

2

]上的單調(diào)遞增區(qū)間是[0，

π

8

]；
C中因?yàn)镾inA-SinC=SinB，所以sinc=sina-sinb，
那么（sinC）²=（sinA-sinB）²=（sinA）²-2sinA•sinB+（sinB）²，
∵CosA+CosC=CoSB，
∴cosC=cosB-cosA．
同理（cosC）²=（cosB）²-2cosA•cosB+（cosA）²，
所以相加得1=1-2（cosA•cosB+sinA•sinB）+1，
公式cos（A-B）=cosA•cosB+sinA•sinB，
∴所以相加得1=1-2cos（A-B）+1，
2cos（A-B）=1
所以cos（A-B）=

1

2

．
因?yàn)锳，B，C∈（0，

π

2

），
所以0＜A-B＜

π

2

，
因此A-B=

π

3

，
則B-A=-

π

3

．
D中，方程sin²x+2sinx+a=0在x∈R上有解，可以轉(zhuǎn)化為a=-sin²x-2sinx，x∈R
故令t=sinx∈[-1，1]，則方程轉(zhuǎn)化為
a=-t²-2t，t∈[-1，1]，
此二次函數(shù)的對稱軸為t=-1，故 a=a=-t²-2t在[-1，1]上是減函數(shù)，
∴-1≤t≤3，即a的取值范圍是[-1，1]．
綜上所述，D不正確．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題、三角函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用、角的求法和參數(shù)取值范圍的考查，考查知識點(diǎn)較多，但難度不大．