【題目】已知函數(shù)f(x)=4x﹣a2x+1+a+1,a∈R.
(1)當a=1時,解方程f(x)﹣1=0;
(2)當0<x<1時,f(x)<0恒成立,求a的取值范圍;
(3)若函數(shù)f(x)有零點,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:a=1時,f(x)=4x﹣22x+2,
f(x)﹣1=(2x)2﹣2(2x)+1=(2x﹣1)2=0,
∴2x=1,解得:x=0
(2)解:4x﹣a(2x+1﹣1)+1>0在(0,1)恒成立,
a(22x﹣1)<4x+1,
∵2x+1>1,
∴a> ,
令2x=t∈(1,2),g(t)= ,
則g′(t)= = =0,
t=t0,∴g(t)在(1,t0)遞減,在(t0,2)遞增,
而g(1)=2,g(2)= ,
∴a≥2
(3)解:若函數(shù)f(x)有零點,
則a= 有交點,
由(2)令g(t)=0,解得:t= ,
故a≥
【解析】(1)將a=的值代入,將2x看作一個整體,解出2x的值,從而求出x的值即可;(2)問題轉(zhuǎn)化為a> ,令2x=t∈(1,2),g(t)= ,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g(t)的最大值,從而求出a的范圍即可;(3)問題轉(zhuǎn)化為a= 有交點,根據(jù)(2)求出a的范圍即可.
【考點精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題R,p:x∈R使 ,命題q:x∈R都有x2+x+1>0,給出下列結(jié)論:
①命題“p∧q”是真命題
②命題“命題“p∨q”是假命題
③命題“p∨q”是真命題
④命題“p∨q”是假命題
其中正確的是( )
A.②④
B.②③
C.③④
D.①②③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減的是( )
A.
B.y=x2
C.y=﹣x|x|
D.y=x﹣2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在統(tǒng)計學(xué)中,偏差是指個別測定值與測定的平均值之差,在成績統(tǒng)計中,我們把某個同學(xué)的某科考試成績與該科班平均分的差叫某科偏差,班主任為了了解個別學(xué)生的偏科情況,對學(xué)生數(shù)學(xué)偏差(單位:分)與物理偏差(單位:分)之間的關(guān)系進行學(xué)科偏差分析,決定從全班56位同學(xué)中隨機抽取一個容量為8的樣本進行分析,得到他們的兩科成績偏差數(shù)據(jù)如下:
學(xué)生序號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
數(shù)學(xué)偏差 | 20 | 15 | 13 | 3 | 2 | -5 | -10 | -18 |
物理偏差 | 6.5 | 3.5 | 3.5 | 1.5 | 0.5 | -0.5 | -2.5 | -3.5 |
(1)已知與之間具有線性相關(guān)關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)若這次考試該班數(shù)學(xué)平均分為118分,物理平均分為90.5,試預(yù)測數(shù)學(xué)成績126分的同學(xué)的物理成績.
參考公式: , ,
參考數(shù)據(jù): , .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著生活水平的提高,人們對空氣質(zhì)量的要求越來越高,某機構(gòu)為了解公眾對“車輛限行”的態(tài)度,隨機抽查人,并將調(diào)查情況進行整理后制成下表:
年齡(歲) | |||||
頻數(shù) | |||||
贊成人數(shù) |
(1)世界聯(lián)合國衛(wèi)生組織規(guī)定: 歲為青年, 為中年,根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫以下列聯(lián)表:
青年人 | 中年人 | 合計 | |
不贊成 | |||
贊成 | |||
合計 |
(2)判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下,認為贊成“車柄限行”與年齡有關(guān)?
附: ,其中
獨立檢驗臨界值表:
(3)若從年齡的被調(diào)查中各隨機選取人進行調(diào)查,設(shè)選中的兩人中持不贊成“車輛限行”態(tài)度的人員為,求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.向量 =(a, b)與 =(cosA,sinB)平行.
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)若a= ,b=2,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知公差不為0的等差數(shù)列{an}滿足:a1=1且a2 , a5 , a14成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an和前n項和Sn;
(2)證明不等式 且n∈N*)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對某校高一年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進行統(tǒng)計,隨機抽取名學(xué)生作為樣本,得到這名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù).根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
10 | 0.25 | |
25 | ||
2 | 0.05 | |
合計 | 1 |
(1)求出表中及圖中的值;
(2)試估計他們參加社區(qū)服務(wù)的平均次數(shù);
(3)在所取樣本中,從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人,求至少1人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系xOy中,圓C的方程為x2+y2﹣8x+15=0,若直線y=kx﹣2上至少存在一點,使得以該點為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點,則k的最大值是 .
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