Question

(本題滿分15分)已知函數(shù)f(x)=(2－a)(x－1)－2lnx，,其中a∈R，
（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f(x)在（0，）上無(wú)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

Answer 1

(1)當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=-lnx,故函數(shù)f(x)遞減區(qū)間為（0，）；
當(dāng)a2時(shí)，
若a>2,當(dāng)x>0時(shí)，都有，所以函數(shù)f(x)遞減區(qū)間為（0，）；
若a<2,當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：

x
	－	0	+
f(x)		極小值

故函數(shù)f(x)遞減區(qū)間為：，
故函數(shù)f(x)遞增區(qū)間為：
（2）因?yàn)閒(x)<0在區(qū)間上恒成立不可能，故要使函數(shù)f(x) 在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，只要對(duì)任意的x，f(x)>0恒成立即可，
即對(duì)x，a>恒成立.
令
則
再令
則
故h(x)在上為減函數(shù)，于是h(x)>h,
從而，于是g(x)在上為增函數(shù)，
所以g(x)<,
故要使函數(shù)f(x)在上無(wú)零點(diǎn)，a的取值范圍為：.

略