【題目】已知拋物線x2=2py(p>0)的焦點為F,直線x=4與x軸的交點為P,與拋物線的交點為Q,且

(1)求拋物線的方程;
(2)如圖所示,過F的直線l與拋物線相交于A,D兩點,與圓x2+(y﹣1)2=1相交于B,C兩點(A,B兩點相鄰),過A,D兩點分別作我校的切線,兩條切線相交于點M,求△ABM與△CDM的面積之積的最小值.

【答案】
(1)

解:由題意可知P(4,0),Q(4, ),丨QF丨= +

,則 + = × ,解得:p=2,

∴拋物線x2=4y


(2)

解:設(shè)l:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),

聯(lián)立 ,整理得:x2﹣4kx﹣4=0,

則x1x2=﹣4,

由y= x2,求導(dǎo)y′= ,

直線MA:y﹣ = (x﹣x1),即y= x﹣

同理求得MD:y= x﹣

,解得: ,則M(2k,﹣1),

∴M到l的距離d= =2 ,

∴△ABM與△CDM的面積之積S△ABMS△CDM= 丨AB丨丨CD丨d2,

= (丨AF丨﹣1)(丨DF丨﹣1)d2,

= y1y2d2= ×d2

=1+k2≥1,

當(dāng)且僅當(dāng)k=0時取等號,

當(dāng)k=0時,△ABM與△CDM的面積之積的最小值1


【解析】(1)求得P和Q點坐標(biāo),求得丨QF丨,由題意可知, + = × 即可求得p的值,求得橢圓方程;(2)設(shè)直線方程,代入拋物線方程,由韋達定理x1x2=﹣4,求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求得切線方程,聯(lián)立求得M點坐標(biāo),根據(jù)點到直線距離公式,求得M到l的距離,利用三角形的面積公式,即可求得△ABM與△CDM的面積之積的最小值.

練習(xí)冊系列答案
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(1)完成2×2列聯(lián)表,并判斷是否可以在犯錯誤概率不超過1%的前提下,認(rèn)為抗倒伏與玉米矮莖有關(guān)?

P(K2≥k)

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

(K2= ,其中n=a+b+c+d)
(2)為了改良玉米品種,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從抗倒伏的玉米中抽出5株,再從這5株玉米中選取2株進行雜交試驗,選取的植株均為矮莖的概率是多少?

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(1)若采取分層抽樣的方法再從樣本中的不能自理的老人中抽取16人進一步了解他們的生活狀況,則兩個群體中各應(yīng)抽取多少人?
(2)估算該市80歲及以上長者占全市戶籍人口的百分比;
(3)據(jù)統(tǒng)計該市大約有五分之一的戶籍老人無固定收入,政府計劃為這部分老人每月發(fā) 放生活補貼,標(biāo)準(zhǔn)如下:①80歲及以上長者每人每月發(fā)放生活補貼200元;②80歲以下 老人每人每月發(fā)放生活補貼120元;③不能自理的老人每人每月額外發(fā)放生活補貼100 元.試估計政府執(zhí)行此計劃的年度預(yù)算.

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A.
B.
C.
D.

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A.
B.
C.(2,3)
D.

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A.0
B.1
C.2
D.3

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