【題目】某有機水果種植基地試驗種植的某水果在售賣前要成箱包裝，每箱80個，每一箱水果在交付顧客之前要按約定標準對水果作檢測，如檢測出不合格品，則更換為合格品．檢測時，先從這一箱水果中任取10個作檢測，再根據檢測結果決定是否對余下的所有水果作檢測．設每個水果為不合格品的概率都為，且各個水果是否為不合格品相互獨立．

(Ⅰ)記10個水果中恰有2個不合格品的概率為，求取最大值時p的值；

(Ⅱ)現(xiàn)對一箱水果檢驗了10個，結果恰有2個不合格，以(Ⅰ)中確定的作為p的值．已知每個水果的檢測費用為1.5元，若有不合格水果進入顧客手中，則種植基地要對每個不合格水果支付a元的賠償費用．

(ⅰ)若不對該箱余下的水果作檢驗，這一箱水果的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX；

(ⅱ)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，當種植基地要對每個不合格水果支付的賠償費用至少為多少元時，將促使種植基地對這箱余下的所有水果作檢驗？

【答案】(Ⅰ)0.2 (Ⅱ) (ⅰ) (ⅱ)8

【解析】

(Ⅰ)記10個水果中恰有2個不合格品的概率為，求得，利用導數(shù)即可求解函數(shù)的單調性，進而求得函數(shù)的最值.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，(ⅰ)中，依題意知，，進而利用公式，即可求解；

(ⅱ)如果對余下的水果作檢驗，得這一箱水果所需要的檢驗費為120元，列出相應的不等式，判定即可得到結論.

(Ⅰ)記10個水果中恰有2個不合格品的概率為f(p)，則，

∴，

由，得.

且當時，；當時，.

∴的最大值點.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，

(ⅰ)令Y表示余下的70個水果中的不合格數(shù)，依題意知，

∴.

(ⅱ)如果對余下的水果作檢驗，則這一箱水果所需要的檢驗費為120元，

由，得，且，

∴當種植基地要對每個不合格水果支付的賠償費用至少為8元時，將促使種植基地對這箱余下的所有水果作檢測．

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