【題目】設(shè)f(x)=ln x,g(x)=x|x|.
(1)求g(x)在x=-1處的切線方程;
(2)令F(x)=x·f(x)-g(x),求F(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若任意x1,x2∈[1,+∞)且x1>x2,都有m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1) ;(2)答案見解析;(3) .
【解析】試題分析:(1)通過求導(dǎo)得到切線方程x-y+=0;(2)F(x)=xln x-x2(x>0),得到單調(diào)區(qū)間(0,+∞)上遞減;(3)構(gòu)造h(x)=mg(x)-xf(x)=x2-xln x,則h(x)在(0,+∞)上為單調(diào)遞增,故h′(x)=mx-ln x-1≥0恒成立,即m≥恒成立,m≥1。
試題解析:
(1)x<0時(shí),g(x)=-x2,g′(x)=-x,
故g(-1)=-,g′(-1)=1,
故g(x)在x=-1處的切線方程是:y+=1×(x+1),
即x-y+=0.
(2)由題意知F(x)=xln x-x|x|=xln x-x2(x>0),
F′(x)=ln x-x+1,令t(x)=F′(x)=ln x-x+1,
則t′(x)=-1,
令t′(x)>0,解得0<x<1,令t′(x)<0,解得x>1,
故F′(x)在(0,1)上遞增,在(1,+∞)上遞減,
故F′(x)≤F′(1)=0,
故F(x)在(0,+∞)上遞減;
(3)已知可轉(zhuǎn)化為x1>x2≥1時(shí),mg(x1)-x1f(x1)≥mg(x2)-x2f(x2)恒成立,
令h(x)=mg(x)-xf(x)=x2-xln x,
則h(x)在(0,+∞)上為單調(diào)遞增的函數(shù),
故h′(x)=mx-ln x-1≥0恒成立,即m≥恒成立,
令m(x)=,則m′(x)=-,
∴當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),m′(x)≤0,m(x)單調(diào)遞減,
m(x)≤m(1)=1,即m≥1,
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1,+∞).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
(2)當(dāng)且時(shí),不等式在上恒成立,求k的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“扶貧幫困”是中華民族的傳統(tǒng)美德,某校為幫扶困難同學(xué),采用如下方式進(jìn)行一次募捐:在不透明的箱子中放入大小均相同的白球七個(gè),紅球三個(gè),每位獻(xiàn)愛心的參與者投幣20元有一次摸獎(jiǎng)機(jī)會(huì),一次性從箱子中摸球三個(gè)(摸完球后將球放回),若有一個(gè)紅球,獎(jiǎng)金10元,兩個(gè)紅球獎(jiǎng)金20元,三個(gè)全是紅球獎(jiǎng)金100元.
(1)求獻(xiàn)愛心參與者中將的概率;
(2)若該次募捐900位獻(xiàn)愛心參與者,求此次募捐所得善款的數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品,其生產(chǎn)的總成本(萬元)與年產(chǎn)量(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似的表示為,已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為噸.
(1)求年產(chǎn)量為多少噸時(shí),生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低,并求最低成本;
(2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價(jià)為40萬元,那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時(shí),可以獲得最大利潤(rùn)?最大利潤(rùn)是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}滿足an=2+2cos2,n∈N*,等差數(shù)列{bn}滿足a1=2b1,a2=b2.
(1)求bn;
(2)記cn=a2n-1b2n-1+a2nb2n,求cn;
(3)求數(shù)列{anbn}前2n項(xiàng)和S2n.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為常數(shù))與軸有唯一的公關(guān)點(diǎn).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為,若存在不相等的正實(shí)數(shù),滿足,證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),直線交橢圓E于A,B兩點(diǎn),△ABF1的周長(zhǎng)為16,△AF1F2的周長(zhǎng)為12.
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程與離心率;
(2)若直線l與橢圓E交于C,D兩點(diǎn),且P(2,2)是線段CD的中點(diǎn),求直線l的一般方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,將曲線上的所有點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的倍,縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍后,得到曲線,在以為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程是.
(1)寫出曲線的參數(shù)方程和直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)在曲線上求一點(diǎn),使點(diǎn)到直線的距離最大,并求出此最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,公差d>0.且a2,a5,a14分別是等比數(shù)列{bn}的b2,b3,b4.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{cn}對(duì)任意自然數(shù)n均有成立,求c1+c2+…+c2016的值.
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