【題目】某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品，該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成，圓錐的側(cè)面用于藝術(shù)裝飾，如圖1.為了便于設(shè)計(jì)，可將該禮品看成是由圓及其內(nèi)接等腰三角形繞底邊上的高所在直線旋轉(zhuǎn)180°而成，如圖2.已知圓的半徑為，設(shè)，圓錐的側(cè)面積為.

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）為了達(dá)到最佳觀賞效果，要求圓錐的側(cè)面積最大.求取得最大值時(shí)腰的長(zhǎng)度.

【答案】（1） ，（2）側(cè)面積取得最大值時(shí)，等腰三角形的腰的長(zhǎng)度為

【解析】試題分析：（1）由條件，，，所以S，；（2）令，所以得，通過(guò)求導(dǎo)分析，得在時(shí)取得極大值，也是最大值。

試題解析：

（1）設(shè)交于點(diǎn)，過(guò)作，垂足為，

在中，，，

在中，，

所以S，

（2）要使側(cè)面積最大，由（1）得：

令，所以得，

由得：

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以在時(shí)取得極大值，也是最大值；

所以當(dāng)時(shí)，側(cè)面積取得最大值，

此時(shí)等腰三角形的腰長(zhǎng)

答：側(cè)面積取得最大值時(shí)，等腰三角形的腰的長(zhǎng)度為．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，有.

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）求函數(shù)在區(qū)間上的解析式，并利用定義證明證明其在該區(qū)間上的單調(diào)性；

（3）解關(guān)于的不等式.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在等差數(shù)列中，，且前7項(xiàng)和.

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知在中，，且.

（1）求角的大小；

（2）設(shè)數(shù)列滿足，前項(xiàng)和為，若，求的值.

【答案】(1)；(2)或.

【解析】試題分析：

(1)由題意結(jié)合三角形內(nèi)角和為可得.由余弦定理可得，，結(jié)合勾股定理可知為直角三角形，，.

(2)結(jié)合(1)中的結(jié)論可得 .則 ，據(jù)此可得關(guān)于實(shí)數(shù)k的方程，解方程可得，則或.

試題解析：

（1）由已知，又，所以.又由，

所以，所以，

所以為直角三角形，，.

（2） .

所以 ，由，得

，所以，所以，所以或.

【題型】解答題
【結(jié)束】
18

【題目】已知點(diǎn)是平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，如果，，.（1）求證：是平面的法向量；

（2）求平行四邊形的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（1）求圓心在直線上，且與直線相切于點(diǎn)的圓的方程；

（2）求與圓外切于點(diǎn)且半徑為的圓的方程.

【答案】(1)；(2).

【解析】試題分析：

(1)由題意可得圓的一條直徑所在的直線方程為，據(jù)此可得圓心，半徑，則所求圓的方程為.

(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，得該圓圓心為，半徑為，兩圓連心線斜率.設(shè)所求圓心為，結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得，.則圓的方程為.

試題解析：

（1）過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線為，

由 .

即圓心，半徑，

所求圓的方程為.

（2）圓方程化為，得該圓圓心為，半徑為，故兩圓連心線斜率.設(shè)所求圓心為，

，∴，

，∴.

∴.

點(diǎn)睛：求圓的方程，主要有兩種方法：

(1)幾何法：具體過(guò)程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理．如：①圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線．

(2)待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量．一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，所以應(yīng)該有三個(gè)獨(dú)立等式．

【題型】解答題
【結(jié)束】
20

【題目】如圖所示，平面，點(diǎn)在以為直徑的上，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在弧上，且.

（1）求證：平面平面；

（2）求證：平面平面；

（3）設(shè)二面角的大小為，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】小張經(jīng)營(yíng)某一消費(fèi)品專賣(mài)店，已知該消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為每件40元，該店每月銷售量（百件）與銷售單價(jià)x（元/件）之間的關(guān)系用下圖的一折線表示，職工每人每月工資為1000元，該店還應(yīng)交付的其它費(fèi)用為每月10000元.

（1）把y表示為x的函數(shù)；

（2）當(dāng)銷售價(jià)為每件50元時(shí)，該店正好收支平衡（即利潤(rùn)為零），求該店的職工人數(shù)；

（3）若該店只有20名職工，問(wèn)銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，該專賣(mài)店可獲得最大月利潤(rùn)？（注：利潤(rùn)=收入-支出）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知公差不為零的等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分）已知函數(shù)，.

（Ⅰ）時(shí)，證明：；

（Ⅱ），若，求a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某廠家為了了解一款產(chǎn)品的質(zhì)量，隨機(jī)抽取200名男性使用者和100名女性使用者，對(duì)該款產(chǎn)品進(jìn)行評(píng)分，繪制出如下頻率分布直方圖.

（1）利用組中值（數(shù)據(jù)分組后，一個(gè)小組的組中值是指這個(gè)小組的兩個(gè)端點(diǎn)的數(shù)的平均數(shù)），估計(jì)100名女性使用者評(píng)分的平均值；

（2）根據(jù)評(píng)分的不同，運(yùn)用分層抽樣從這200名男性中抽取20名，在這20名中，從評(píng)分不低于80分的人中任意抽取3名，求這3名男性中恰有一名評(píng)分在區(qū)間的概率.

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