已知復(fù)數(shù)z1滿(mǎn)足:|z1|=1+3i-z1.復(fù)數(shù)z2滿(mǎn)足:z2•(1-i)+(3-2i)=4+i.
(1)求復(fù)數(shù)z1,z2
(2)在復(fù)平面內(nèi),O為坐標(biāo)原點(diǎn),記復(fù)數(shù)z1,z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B.求△OAB的面積.
分析:(1)設(shè)z1=x+yi(x,y∈R),由|z1|=1+3i-z1,得
x2+y2
=1+3i-(x+yi)
=1-x+(3-y)i,根據(jù)復(fù)數(shù)相等即可得出;而z2•(1-i)=1+3i,可化為z2=
1+3i
1-i
,再利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出;
(2)由(1)知,
OA
=(-4,3)
,
OB
=(-1,2)
,利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即可得出;再利用
OA
OB
=|
OA
| |
OB
|cos∠AOB
,即可得出cos∠AOB,再利用平方關(guān)系即可得出sin∠AOB.再利用三角形面積計(jì)算公式即可.
解答:解:(1)設(shè)z1=x+yi(x,y∈R),
由|z1|=1+3i-z1,得
x2+y2
=1+3i-(x+yi)
=1-x+(3-y)i,
1-x=
x2+y2
3-y=0
,解得
x=-4
y=3

∴z1=-4+3i.
而z2•(1-i)=1+3i,
z2=
1+3i
1-i
=
(1+3i)(1+i)
(1-i)(1+i)
=
-2+4i
2
=-1+2i,
(2)由(1)知,
OA
=(-4,3)
,
OB
=(-1,2)
,∴|
OA|
=
(-4)2+32
=5
|
OB
|=
(-1)2+22
=
5

OA
OB
=|
OA
| |
OB
|cos∠AOB
,得(-4)×(-1)+3×2=5
5
cos∠AOB
,
解得cos∠AOB=
2
5
,∴sin∠AOB=
1
5

∴△OAB的面積S=
1
2
×5×
5
×
1
5
=
5
2
點(diǎn)評(píng):熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等、數(shù)量積運(yùn)算、三角形的面積計(jì)算公式等是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知復(fù)數(shù)z1滿(mǎn)足(1+i)z1=-1+5i,z2=a-2-i,其中i為虛數(shù)單位,a∈R,若|z1-
.
z2
|
<|z1|,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知復(fù)數(shù)z1滿(mǎn)足:(1+2i)
.
z1
=4+3i,zn+1-zn=2+2i(n∈N+).
(1)求復(fù)數(shù)z1
(2)求滿(mǎn)足|zn|≤13的最大正整數(shù)n.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知復(fù)數(shù)z1滿(mǎn)足(1+i)z1=-1+5i,z2=a-2-i,(a∈R),若|z1-
.
z2
| < |z1|
,則a的取值范圍是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知復(fù)數(shù)z1滿(mǎn)足(z1-2)(1+i)=1-i(i為虛數(shù)單位),復(fù)數(shù)z2的虛部為2,且z1•z2是實(shí)數(shù),求z2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知復(fù)數(shù)z1滿(mǎn)足(3+4i)z1=-1+7i,z2=a-2-i,a∈R.
(1)若|z1+
.
z2
|<2|z1|
,求a的取值范圍;
(2)若z1+
.
z2
是方程x2-2x+p=0(p∈R)的一個(gè)根,求a與p的值.

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