Question

【題目】已知函數(shù).

（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）證明：.

Answer 1

【答案】（1）時(shí)，在上遞減，時(shí)，時(shí)遞減，時(shí)遞增；（2）證明見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（1）判斷單調(diào)性，定義域?yàn)?/span>，只要求得導(dǎo)數(shù)，判斷的正負(fù)即可，此題需要按和分類(lèi)討論；（2）證明此不等式的關(guān)鍵是求的最大值，由導(dǎo)數(shù)的知識(shí)可得最大值為，即，當(dāng)時(shí)，．從而，這樣要證不等式的左邊每一項(xiàng)都可以放大：，并且再放大為，求和后，不等式右邊用裂項(xiàng)相消法可得．

試題解析：（１）由題可知，

定義域?yàn)?/span>，

所以，

若，恒成立，在單調(diào)遞減.

若，，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

（2）令，則，

設(shè)，由于，令得，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減

所以，

所以當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，即，

從而，

從而得到，對(duì)依次取值可得

…，，

對(duì)上述不等式兩邊依次相加得到：

，

又因?yàn)?/span>，

而，

所以,

所以