Question

設(shè)函數(shù)f(x)滿足2f(x)-f()=4x-+1,數(shù)列{an}和{bn}滿足下列條件:a1=1,an+1-2an=f(n),bn=an+1-an(n∈N*).

(1)求f(x)的解析式.

(2)求{bn}的通項(xiàng)公式bn.

(3)試比較2an與bn的大小,并證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

(1) f(x)=2x+1 (2) bn=3·2n-2 (3)見解析

【解析】(1)∵2f(x)-f()=4x-+1,

∴2f()-f(x)=-2x+1.

聯(lián)立方程組

①×2+②,得3f(x)=6x+3

∴f(x)=2x+1.

(2)由題設(shè)an+1=2an+2n+1　　　　　　　③,

an+2=2an+1+2n+3 ④,

④-③得an+2-an+1=2(an+1-an)+2,

即bn+1=2bn+2,∴bn+1+2=2(bn+2),

∴{bn+2}為等比數(shù)列.

q=2,b1=a2-a1=4,bn+2=6·2n-1,

∴bn=3·2n-2.

(3)由(2),知an+1-an=3×2n-2,而已知an+1-2an=2n+1,聯(lián)立解得an=3×2n-2n-3,

∴2an=6×2n-4n-6,

∴2an-bn=3×2n-4(n+1).

當(dāng)n=1時(shí),2a1-b1=-2<0,∴2a1<b1;

當(dāng)n=2時(shí),2a2-b2=0,∴2a2=b2;

當(dāng)n=3時(shí),2a3-b3=8>0,∴2a3>b3;

當(dāng)n=4時(shí),2a4-b4=28>0,∴2a4>b4.

猜想當(dāng)n≥3時(shí),2an>bn即3×2n>4(n+1).

當(dāng)n=3時(shí),顯然成立,

假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3)時(shí),命題正確,

即3×2k>4(k+1).

當(dāng)n=k+1時(shí),

即3×2k+1=2×(3×2k)>8(k+1)=8k+8

=4k+8+4k>4k+8=4(k+2).

不等式也成立,故對(duì)一切n≥3且n∈N*,

2an>bn.

綜上所述,當(dāng)n=1時(shí),2an<bn;

當(dāng)n=2時(shí),2an=bn;

當(dāng)n≥3時(shí),2an>bn.