【題目】如圖，在四棱椎中， 是棱上一點，且，底面是邊長為2的正方形， 為正三角形，且平面平面，平面與棱交于點.

(1)求證：平面平面；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：(1)在正方形中， ，由面面垂直的性質(zhì)定理可得，∴平面，又平面，∴，進而證得，又平面， ，

∴平面，∵平面，∴平面平面.

(2)取中點，以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，求出相關點的坐標，進而得到平面的一個法向量，平面的一個法向量.由空間的夾角公式可求兩個向量的的夾角，又由題意可得二面角為鈍角，即可得到二面角的余弦值.

試題解析：

(1)在正方形中， ，又平面平面，且平面平面，

∴平面，又平面，∴，∵底面是正方形，∴，

又平面， 平面，∴平面.

又四點共面，且平面平面，∴，∴，

又，∴為棱的中點， 是棱中點，

∵是正三角形，∴，又平面， ，

∴平面，∵平面，∴平面平面.

(2)取中點，以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則

， ， ， ， ， ， ， .

設平面的法向量為，則，∴， ， ，解得， ，令，則為平面的一個法向量，設平面的法向量為，則， ，

∴， ，得， ，令，則為平面的一個法向量.

∴，由圖知二面角為鈍角，

∴二面角的余弦值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) 是自然對數(shù)的底數(shù)與的圖象上存在關于軸對稱的點，則實數(shù)a的取值范圍是()

A. B.

C. D.

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【題目】對某校高一年級學生參加社區(qū)服務次數(shù)進行統(tǒng)計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區(qū)服務的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表和頻率分布直方圖如下：

分組

頻數(shù)

頻率

[10，15）

10

0.25

[15，20）

25

n

[20，25）

m

p

[25，30）

2

0.05

合計

M

1

（1）求出表中M，p及圖中a的值；

（2）若該校高一學生有360人，試估計該校高一學生參加社區(qū)服務的次數(shù)在區(qū)間[15，20）內(nèi)的人數(shù)；

（3）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務的次數(shù)不少于20次的學生中任選2人，請列舉出所有基本事件，并求至多1人參加社區(qū)服務次數(shù)在區(qū)間[20，25）內(nèi)的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在各棱長均為的三棱柱中，側(cè)面底面， .

（1）求側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大�。�

（2）已知點滿足，在直線上是否存在點，使平面？若存在，請確定點的位置，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖 1，在直角梯形中， ，且．現(xiàn)以為一邊向形外作正方形，然后沿邊將正方形翻折，使平面與平面垂直， 為的中點，如圖 2．

（1）求證： 平面；

（2）求證： 平面；

（3）求點到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知 (，且為常數(shù)).

(1)求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若在區(qū)間內(nèi)，存在且時，使不等式成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓，，為橢圓的兩個焦點，為橢圓上任意一點，且，構(gòu)成等差數(shù)列，過橢圓焦點垂直于長軸的弦長為3.

(1)求橢圓的方程；

(2)若存在以原點為圓心的圓，使該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，且，求出該圓的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】的內(nèi)角的對邊分別為，已知.

(1)求；

(2)若， 成等差數(shù)列，求的面積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) (其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)有4個零點，則的取值范圍為（ ）

A. B. C. D.

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