【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù),求函數(shù)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)設直線l為函數(shù)的圖象上一點處的切線,證明:在區(qū)間上存在唯一的,使得直線l與曲線相切并求出此時n的值.(參考數(shù)據(jù):)
【答案】(Ⅰ)增區(qū)間和,無減區(qū)間;(Ⅱ)證明詳見解析,.
【解析】
(Ⅰ)求出函數(shù)的定義域,求導函數(shù),確定導數(shù)恒大于0,從而可得求函數(shù)的單調區(qū)間;
(Ⅱ)通過導數(shù)的幾何意義求出切線的方程為,再設直線與曲線相切于點,進而可得,結合(Ⅰ)中的結論再證明在區(qū)間上存在且唯一,計算得出,即可得結果.
(Ⅰ)函數(shù)的定義域為,
,.
∵且,∴
∴函數(shù)的單調遞增區(qū)間為和,無減區(qū)間.
(Ⅱ)∵,∴,
∴切線的方程為,即,①
設直線與曲線相切于點,
∵,∴,∴,∴.
∴直線也為,即,②
由①②得,∴.
下證:在區(qū)間上存在唯一的.
由(Ⅰ)可知,在區(qū)間上遞增.
又,,
結合零點存在性定理,說明方程必在區(qū)間上有唯一的根,且
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(13分)編號為A1,A2,…,A16的16名籃球運動員在某次訓練比賽中的得分記錄如下:
運動員編號 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 | A6 | A7 | A8 | |
得分 | 15 | 35 | 21 | 28 | 25 | 36 | 18 | 34 | |
運動員編號 | A9 | A10 | A11 | A12 | A13 | A14 | A15 | A16 | |
得分 | 17 | 26 | 25 | 33 | 22 | 12 | 31 | 38 |
(Ⅰ)將得分在對應區(qū)間內的人數(shù)填入相應的空格;
區(qū)間 | [10,20) | [20,30) | [30,40] |
人數(shù) |
(Ⅱ)從得分在區(qū)間[20,30)內的運動員中隨機抽取2人,
(i)用運動員的編號列出所有可能的抽取結果;
(ii)求這2人得分之和大于50分的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在處取得極值.
(1)若,求函數(shù)的單調區(qū)間;
(2)若,函數(shù),若存在、,使得成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦距為,且過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若不經(jīng)過點的直線與交于兩點,且直線與直線的斜率之和為,證明:直線的斜率為定值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若在點處的切線與直線垂直,求函數(shù)在點處的切線方程;
(2)若對于,恒成立,求正實數(shù)的取值范圍;
(3)設函數(shù),且函數(shù)有極大值點,求證:.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知甲、乙、丙三個組的老年人數(shù)分別為30,30,24.現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取14人,進行身體狀況調查.
(1)應從甲、乙、丙三個小組各抽取多少人?
(2)若抽出的14人中,10人身體狀況良好,還有4人有不同程度的狀況要進行治療,現(xiàn)從這14人中,再抽3人進一步了解情況,用表示抽取的3人中,身體狀況良好的人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞
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