Question

【題目】已知函數(shù)，曲線在點處的切線與直線垂直（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．

（Ⅰ）求的解析式及單調遞減區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)無零點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）單調減區(qū)間為和；（Ⅱ） 的取值范圍為： 或．

【解析】試題分析：

（Ⅰ）利用切線求出參數(shù)值為2，解不等式可得減區(qū)間；

（Ⅱ）函數(shù)無零點，即方程在內無解，亦即要在內無解.為此構造函數(shù)，利用導數(shù)研究的單調性，可得結論，注意對分類討論

試題解析：

（Ⅰ）解：，

又由題意有：，故.

此時，，由或，

所以函數(shù)的單調減區(qū)間為和.

（Ⅱ）解：

，且定義域為，

要函數(shù)無零點，即要在內無解，

亦即要在內無解.

構造函數(shù).

①當時，在內恒成立，所以函數(shù)在內單調遞減，在內也單調遞減.又，所以在內無零點，

在內也無零點，故滿足條件；

②當時，

⑴若，則函數(shù)在內單調遞減，在內也單調遞減，在內單調遞增.又，所以在內無零點；易知，而，故在內有一個零點，所以不滿足條件；

⑵若，則函數(shù)在內單調遞減，在內單調遞增.又，所以時，恒成立，故無零點，滿足條件；

⑶若，則函數(shù)在內單調遞減，在內單調遞增，在內也單調遞增.又，所以在及內均無零點.

又易知，而，又易證當時，，所以函數(shù)在內有一零點，故不滿足條件.

綜上可得：的取值范圍為：或.