Question

已知在平面直角坐標系xOy中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為F(-

3

，0)，右頂點為D（2，0），設點A(1，

1

2

)．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）若P是橢圓上的動點，求線段PA中點M的軌跡方程；
（3）過原點O的直線交橢圓于點B，C，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由“左焦點為F(-

3

，0)，右頂點為D（2，0）”得到橢圓的半長軸a，半焦距c，再求得半短軸b最后由橢圓的焦點在x軸上求得方程．
（2）設線段PA的中點為M（x，y），點P的坐標是（x₀，y₀），由中點坐標公式，分別求得x₀，y₀，代入橢圓方程，可求得線段PA中點M的軌跡方程．
（3）分直線BC垂直于x軸時和直線BC不垂直于x軸兩種情況分析，求得弦長|BC|，原點到直線的距離建立三角形面積模型，再用基本不等式求其最值．

解答：解：（1）由已知得橢圓的半長軸a=2，半焦距c=

3

，則半短軸b=1．
又橢圓的焦點在x軸上，
∴橢圓的標準方程為

x2

4

+y2=1
（2）設線段PA的中點為M（x，y），點P的坐標是（x₀，y₀），
由

x= x0+1 2 y= y0+ 1 2 2

得

x0=2x-1 y0=2y- 1 2

由，點P在橢圓上，得

(2x-1)2

4

+(2y-

1

2

)2=1，
∴線段PA中點M的軌跡方程是(x-

1

2

)2+4(y-

1

4

)2=1．
（3）當直線BC垂直于x軸時，BC=2，
因此△ABC的面積S_△ABC=1．
當直線BC不垂直于x軸時，說該直線方程為y=kx，代入

x2

4

+y2=1，
解得B（

2

4k2+1

，

2k

4k2+1

），C（-

2

4k2+1

，-

2k

4k2+1

），
則|BC|=4

1+k2

1+4k2

，又點A到直線BC的距離d=

|k- 1 2 |

1+k2

，
∴△ABC的面積S_△ABC=

1

2

|BC|•d=

|2k-1|

1+4k2

于是S_△ABC=

4k2-4k+1 4k2+1

=

1- 4k 4k2+1

由

4k

4k2+1

≥-1，得S_△ABC≤

2

，其中，當k=-

1

2

時，等號成立．
∴S_△ABC的最大值是

2

．

點評：本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關系，還考查了三角形面積模型的建立和解模型的能力．