Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)），在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線.

（1）寫(xiě)出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）最小值為，此時(shí)的直角坐標(biāo)為

【解析】

（1）根據(jù)消去參數(shù)，曲線參數(shù)方程化為普通方程；曲線極坐標(biāo)方程展開(kāi)，代入，即可求出直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，的最小值為點(diǎn)到直線距離的最小值，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合輔助角公式，轉(zhuǎn)化為求余弦型函數(shù)的最小值，即可求出結(jié)論.

（1）由（為參數(shù)），

得的普通方程為；

由，得，

即，又由，

得曲線；

（2）由題意，可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，

因?yàn)?/span>是直線，所以的最小值，即為到的距離的最小值，

.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，

此時(shí)的直角坐標(biāo)為.