Question

已知定直線l：x=1和定點(diǎn)M（t，0）（t∈R），動(dòng)點(diǎn)P到M的距離等于點(diǎn)P到直線l距離的2倍．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并討論它表示什么曲線；
（2）當(dāng)t=4時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，過(guò)點(diǎn)M作傾斜角為θ（θ＞0）的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn)，直線l與x軸交于點(diǎn)N．若點(diǎn)N恰好落在以線段AB為直徑的圓上，求θ的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x，y），則由題意得

(x-t)2+y2

=2|x-1|，化簡(jiǎn)得3x²-y²+2（t-4）x+4-t²=0，由此能夠確定動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程和它表示的曲線．
（2）當(dāng)t=4時(shí)，C：

x2

4

-

y2

12

=1，M（4，0），N（1，0）．由題意知 NA⊥NB，所以

NA

•

NB

=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，不合題意；當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)AB：y=k（x-4），代入雙曲線方程并整理得：（3-k²）x²+8k²x-16k²-12=0，由此能夠求出θ的值．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y），則由題意得

(x-t)2+y2

=2|x-1|，
化簡(jiǎn)得3x²-y²+2（t-4）x+4-t²=0，
3(x+

t-4

3

)2-y2=

(t-1)2

3

，…（4分）
當(dāng)t=1時(shí)，化簡(jiǎn)得 y=±

3

（x-1），表示兩條直線；
當(dāng)t≠1時(shí)，表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線．…（6分）；
（2）當(dāng)t=4時(shí)，C：

x2

4

-

y2

12

=1，M（4，0），N（1，0）．
由題意知 NA⊥NB，
所以

NA

•

NB

=0，…（8分）；
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，

NA

•

NB

≠0，不合題意；
當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，設(shè)AB：y=k（x-4），代入雙曲線方程并整理得：
（3-k²）x²+8k²x-16k²-12=0，
由

NA

•

NB

=0得（x₁-1）（x₂-2）+y₁y₂=0
所以  （k²+1）x₁x₂-（4k²+1）（x₁+x₂）+16k²+1=0，
化簡(jiǎn)整理得k²=

1

3

，
所以k=±

3 3

3

，…（11分）
經(jīng)檢驗(yàn)，均符合題意．
所以θ=30°或150°．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對(duì)數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．