Question

（2011•鹽城二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C由圓弧C₁和圓弧C₂相接而成．兩相接點(diǎn)M，N均在直線x=5上，圓弧C₁的圓心是坐標(biāo)原點(diǎn)O，半徑為r₁=13； 圓弧C₂過(guò)點(diǎn)A（29，0）．
（1）求圓弧C₂所在圓的方程；
（2）曲線C上是否存在點(diǎn)P，滿足PA=

30

PO？若存在，指出有幾個(gè)這樣的點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）已知直線l：x-my-14=0與曲線C交于E、F兩點(diǎn)，當(dāng)EF=33時(shí)，求坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓弧 C₁所在圓的方程為 x²+y²=169，可得M，N的坐標(biāo)，從而可得直線AM的方程為 y-6=2（x-17），進(jìn)而可求圓弧 C₂所在圓的圓心為 （14，0），圓弧C₂ 所在圓的半徑為=29-14=15，故可求圓弧C₂ 的方程；
（2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P（x，y），則由PA=

30

PO，得x²+y²+2x-29=0，分別與圓弧方程聯(lián)立，即可知這樣的點(diǎn)P不存在．
（3）因?yàn)?EF＞r₂，EF＞r₁，所以 E，F(xiàn)兩點(diǎn)分別在兩個(gè)圓弧上，根據(jù)直線l恒過(guò)圓弧 C₂的圓心（14，0），可得 EF=15+

169-d2

+

196-d2

=18，從而得解．

解答：解：（1）圓弧 C₁所在圓的方程為 x²+y²=169，令x=5，解得M（5，12），N（5，-12）…2分
則直線AM的中垂線方程為 y-6=2（x-17），令y=0，得圓弧 C₂所在圓的圓心為 （14，0），
又圓弧C₂ 所在圓的半徑為=29-14=15，所以圓弧C₂ 的方程為（x-14）²+y²=225（x≥5）…5分
（2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P（x，y），則由PA=

30

PO，得x²+y²+2x-29=0 …8分
由

x2+y2+2x-29=0 x2+y2=169(-13≤x≤5)

，解得x=-70 （舍去） 9分
由

x2+y2+2x-29=0 (x-14)2+y2 =225(29≥x≥5)

，解得 x=0（舍去），
綜上知，這樣的點(diǎn)P不存在…10分
（3）因?yàn)?EF＞r₂，EF＞r₁，所以 E，F(xiàn)兩點(diǎn)分別在兩個(gè)圓弧上，
又直線l恒過(guò)圓弧C₂的圓心（14，0），所以 EF=15+

169-d2

+

196-d2

=33…13分
解得d2=

1615

16

，即 d=

1615

4

 …16分

點(diǎn)評(píng)：本題以圓為載體，考查圓的方程，考查曲線的交點(diǎn)，同時(shí)考查距離公式的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)．