Question

如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且為正三角形.

（1）求證：平面；

（2）若，，求點(diǎn)到平面的距離．

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由等腰三角形三線合一得到，由中位線得到，從而得到，利用并結(jié)合直線與平面垂直的判定定理證明平面，從而得到，再結(jié)合以及直線與平面垂直的判定定理證明平面；（2）解法一是利用（1）中的條件得到平面，以點(diǎn)為頂點(diǎn)，為底面計(jì)算三棱錐的體積，然后更換頂點(diǎn)，變成以點(diǎn)為頂點(diǎn)，為底面來計(jì)算三棱錐，利用等體積法從而計(jì)算三棱錐的高，即點(diǎn)到平面的距離；解法二是作或其延長線于點(diǎn)，然后證明平面，從而得到的長度為點(diǎn)到平面的距離，進(jìn)而計(jì)算的長度即可.

試題解析：（1）證明：在正中，是的中點(diǎn)，所以．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004442307966186/SYS201403200445045640881238_DA.files/image014.png">是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，故．

又，，、平面，

所以平面．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004442307966186/SYS201403200445045640881238_DA.files/image034.png">平面，所以，

又，，、平面，

所以平面；

（2）解法1：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004442307966186/SYS201403200445045640881238_DA.files/image043.png">，是的中點(diǎn)，所以，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004442307966186/SYS201403200445045640881238_DA.files/image026.png">為正三角形，所以，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004442307966186/SYS201403200445045640881238_DA.files/image046.png">，，所以，

所以，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004442307966186/SYS201403200445045640881238_DA.files/image050.png">，

由（1）知，所以，

在中，，

所以.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004442307966186/SYS201403200445045640881238_DA.files/image055.png">，所以，

即，所以．

故點(diǎn)到平面的距離為．

解法2：過點(diǎn)作直線的垂線，交的延長線于點(diǎn)，

由（1）知，平面，，

所以平面．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004442307966186/SYS201403200445045640881238_DA.files/image062.png">平面，所以．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004442307966186/SYS201403200445045640881238_DA.files/image064.png">，所以平面．

所以為點(diǎn)到平面的距離．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004442307966186/SYS201403200445045640881238_DA.files/image043.png">，是的中點(diǎn)，所以．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004442307966186/SYS201403200445045640881238_DA.files/image026.png">為正三角形，所以．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004442307966186/SYS201403200445045640881238_DA.files/image027.png">為的中點(diǎn)，所以．

以下給出兩種求的方法：

方法1：在△中，過點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，

則． 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004442307966186/SYS201403200445045640881238_DA.files/image069.png">，

所以.

方法2：在中，．          ①，

在△中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032004442307966186/SYS201403200445045640881238_DA.files/image046.png">，

所以，

即．                          ②，

由①，②解得．故點(diǎn)到平面的距離為.

考點(diǎn)：1.直線與平面垂直；2.點(diǎn)到平面的距離；3.等體積法