Question

【題目】已知長為2的線段A B兩端點(diǎn)A和B分別在x軸和y軸上滑動，線段AB的中點(diǎn)M的軌跡為曲線C． （Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)P（x，y）是曲線C上的動點(diǎn)，求3x﹣4y的取值范圍；
（Ⅲ）已知定點(diǎn)Q（0， ），探究是否存在定點(diǎn)T（0，t）（t ）和常數(shù)λ滿足：對曲線C上任意一點(diǎn)S，都有|ST|=λ|SQ|成立？若存在，求出t和λ；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）法一：設(shè)A（m，0），B（0，n），M（x，y），則|AB|2=m2+n2① ∵點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)∴m=2x，n=2y；代入①式得4x2+4y2=4，
即點(diǎn)M的軌跡曲線C的方程為x2+y2=1．
法二：設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則 ，故點(diǎn)M的軌跡曲線C是以原點(diǎn)O為圓心，
半徑等于1的圓，其方程為x2+y2=1．
（Ⅱ）法一；∵x2+y2=1，∴可令 ，∴3x﹣4y=3cosθ﹣4sinθ=5sin（θ+φ）∈[﹣5，5]．
法二：設(shè)t=3x﹣4y，則由題直線3x﹣4y﹣t=0與圓C：x2+y2=1有公共點(diǎn)，
∴ ，解得t∈[﹣5，5]
（Ⅲ）假設(shè)存在滿足題意的t和λ，則設(shè)S（x，y），由|ST|=λ|SQ|得： ，展開整理得： ，又x2+y2=1，故有 ，
由題意此式對滿足x2+y2=1的任意的y都成立，
∴ 且 ，解得： （∵ ）
所以存在 滿足題意要求
【解析】（Ⅰ）法一：設(shè)A（m，0），B（0，n），M（x，y），利用|AB|2=m2+n2 ， 以及點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)求解點(diǎn)M的軌跡曲線C的方程． 法二：設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則 ，判斷點(diǎn)M的軌跡曲線C是以原點(diǎn)O為圓心，半徑等于1的圓，寫出方程即可．（Ⅱ）法一；通過x2+y2=1，令 ，轉(zhuǎn)化三角函數(shù)求解最值即可．法二：設(shè)t=3x﹣4y，利用直線3x﹣4y﹣t=0與圓C：x2+y2=1有公共點(diǎn)，列出不等式求解即可．（Ⅲ）假設(shè)存在滿足題意的t和λ，則設(shè)S（x，y），由|ST|=λ|SQ|得： ，化簡代入x2+y2=1，推出 ，推出 ，得到結(jié)果．