Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）已知為的兩個零點(diǎn)，證明：.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】分析：(1)首先確定函數(shù)的定義域，之后對函數(shù)求導(dǎo)，對參數(shù)進(jìn)行討論，當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于零時單調(diào)增，當(dāng)導(dǎo)數(shù)小于零時單調(diào)減；

(2)由函數(shù)有兩個零點(diǎn)，根據(jù)第一問的結(jié)論，可以斷定，分別將兩個零點(diǎn)代入函數(shù)解析式，得到兩個方程，將兩式相減得到，即，之后將問題轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，從而證得結(jié)果.

詳解：（1）函數(shù)的定義域為，

，

當(dāng)時恒成立，

∴在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時，

令得，令得，

∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減.

（2）由為的兩個零點(diǎn)及（1）知，

∴，兩式相減得，即，

要證，只需證，

即證，即證 ，

不妨設(shè)，令，只需證，

設(shè)，則 ，

設(shè)，則，∴在上單減，

∴，∴在上單增，

∴，即在時恒成立，原不等式得證.