Question

（本小題滿分16分）

如圖，已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,其右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過橢圓的上頂點(diǎn)作橢圓的右準(zhǔn)線的垂線，垂足為，四邊形為平行四邊形。

（1）求橢圓的離心率；

（2）設(shè)線段與橢圓交于點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使?若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請說明理由；

（3）若是直線上一動點(diǎn)，且外接圓面積的最小值是，求橢圓方程。

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意：，即，

所以離心率.                  …………………………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，，

故，，，，

所以橢圓方程是，即，

直線的方程是

由解得：（舍去）或

即，                    …………………………………………7分

，所以，

即存在使成立。      …………………………………………10分

（Ⅲ）解法一：由題可知圓心在直線上，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，

因圓過準(zhǔn)線上一點(diǎn)B，則圓與準(zhǔn)線有公共點(diǎn)，

設(shè)圓心到準(zhǔn)線的距離為，則，即，

解得：或，             …………………………………………14分

又

由題可知，，則，

故橢圓的方程為．           …………………………………………16分

（若直接用圓與準(zhǔn)線相切時面積最小來做，在答案正確的情況下本小題得3分，否則不得分）

解法二：設(shè)，，，

圓外接圓的方程是：

，

則，解得

所以圓心即     ……………………………………12分

則

令 ，

    …………………………………14分

由題可知，，則，

故橢圓的方程為．                   …………………………………16分

解法三：設(shè)，，，

外接圓的方程是：

，

則

，

由得

所以，或

所以

所以

所求橢圓方程是．                 …………………………………16分