在平面直角坐標(biāo)系中,已知A(-2,0),B(2,0),P為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),直線PA,PB的斜率之積為-
1
4
,記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為C.
(1)求曲線C的軌跡方程;
(2)若點(diǎn)D(0,2),點(diǎn)M,N是曲線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且
DM
DN
,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.
(1)設(shè)P(x,y 0,由題意可得,KPAKPB=
y
x+2
y
x-2
=-
1
4
,y≠0
整理可得點(diǎn)P得軌跡方程為
x2
4
+y2=1
(y≠0)
(2)設(shè)過點(diǎn)D(0,2)得直線方程為y=kx+2
聯(lián)立方程
y=kx+2
x2+4y2=4
整理可得(1+4k2)x2+16kx+12=0
設(shè)M(x1,y1)N(x2,y2
則△=(16k)2-4×(1+4k2)×12≥0⇒k2
3
4

x1+x2=-
16k
1+4k2
,x1x2=
12
1+4k2

DM
DN

設(shè)M(x1,y1)N(x2,y2
則△=(16k)2-4×(1+4k2)×12≥0⇒k2
3
4

x1+x2=-
16k
1+4k2
,x1x2=
12
1+4k2
(*)
DM
DN
可得,x1=λx2代入到(*)式整理可得
(1+λ)2
λ
=
64k2
3(1+4k2)
=
64
3(4+
1
k2
)

k2
3
4
可得4≤
(1+λ)2
λ
16
3
,解可得
1
3
≤λ≤3
且λ≠1
又因?yàn)橹本MN過點(diǎn)(2,0),(-2,0),時(shí)λ=
5
3
λ=
3
5

所以可得,
1
3
≤λ≤3且λ≠1,λ≠
3
5
,λ≠
5
3
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如果橢圓
x2
36
+
y2
9
=1
的弦被點(diǎn)(2,2)平分,那么這條弦所在的直線的方程是( 。
A.x+4y=0B.x+4y-10=0C.x+4y-6=0D.x-4y-10=0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓心在第二象限,半徑為2
2
的圓C與直線y=x相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O.橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1與圓C的一個(gè)交點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離之和為10.
(1)求圓C的方程;
(2)試探求C上是否存在異于原點(diǎn)的點(diǎn)Q,使Q到橢圓右焦點(diǎn)F的距離等于線段OF的長(zhǎng).若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知橢C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
1
2
,橢圓的短軸端點(diǎn)與雙曲線
y2
2
-x2
=1的焦點(diǎn)重合,過P(4,0)且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢C的方程;
(Ⅱ)求
OA
OB
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)所作直線中,被拋物線截得弦長(zhǎng)為8的直線有( 。
A.1條B.2條C.3條D.不確定

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線W的頂點(diǎn)在原點(diǎn),其焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上,過點(diǎn)F作x軸的垂線與W交于A、B兩點(diǎn),且點(diǎn)A在第一象限,|AB|=8,過點(diǎn)B作直線BC與x軸交于點(diǎn)T(t,0)(t>2),與拋物線交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線W的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若t=6,曲線G:x2+y2-2ax-4y+a2=0與直線BC有公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若|OB|2+|OC|2≤|BC|2,求△ABC的面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,橢圓M:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
3
2
,直線x=±a和y=±b所圍成的矩形ABCD的面積為8.
(Ⅰ)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=x+m(m∈R)與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P,Q,l與矩形ABCD有兩個(gè)不同的交點(diǎn)S,T.求
|PQ|
|ST|
的最大值及取得最大值時(shí)m的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,動(dòng)點(diǎn)p(x,y)(x≥0)滿足:點(diǎn)p到定點(diǎn)F(
1
2
,0)與到y(tǒng)軸的距離之差為
1
2
.記動(dòng)點(diǎn)p的軌跡為曲線C.
(1)求曲線C的軌跡方程;
(2)過點(diǎn)F的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn),過點(diǎn)A和原點(diǎn)O的直線交直線x=-
1
2
于點(diǎn)D,求證:直線DB平行于x軸.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知點(diǎn)M是曲線C上任一點(diǎn),點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離多1.
(1)求曲線C的方程;
(2)過點(diǎn)P(0,2)的直線L交曲線C于A、B兩點(diǎn),若以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O,求直線L的方程.

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同步練習(xí)冊(cè)答案