【題目】已知圓,直線經(jīng)過點A (1,0).
(1)若直線與圓C相切,求直線的方程;
(2)若直線與圓C相交于P,Q兩點,求三角形CPQ面積的最大值,并求此時直線的方程.
【答案】(1)或(2)y=x-1或y=7x-7
【解析】試題分析:(1)由直線與圓相切可得圓心(3,4)到已知直線的距離等于半徑2,設(shè)直線點斜式方程,列方程可得斜率,最后驗證斜率不存在時是否滿足條件(2)由垂徑定理可得弦長PQ,而三角形的高為圓心到直線的距離d,所以,利用基本不等式求最值可得當(dāng)d=時,S取得最小值2,再根據(jù)點到直線距離公式求直線的斜率,即得的方程.
試題解析:(1)①若直線的斜率不存在,則直線,符合題意.
②若直線斜率存在,設(shè)直線為,即.
由題意知,圓心(3,4)到已知直線的距離等于半徑2,
即,解得,
所求直線方程為,或;
(2)直線與圓相交,斜率必定存在,且不為0,設(shè)直線方程為,
則圓心到直線的距離,
又∵三角形面積
∴當(dāng)d=時,S取得最小值2,則, ,
故直線方程為y=x-1,或y=7x-7.
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【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,求曲線在處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)時,若不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),其中常數(shù).
(1)當(dāng),求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)設(shè)定義在上的函數(shù)在點處的切線方程為,若在內(nèi)恒成立,則稱為函數(shù)的“類對稱點”,當(dāng)時,試問是否存在“類對稱點”,若存在,請至少求出一個“類對稱點”的橫坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】已知橢圓的中心在原點,焦點在軸,焦距為2,且長軸長是短軸長的倍.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè),過橢圓左焦點的直線交于、兩點,若對滿足條件的任意直線,不等式()恒成立,求的最小值.
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【題目】甲乙兩人下棋比賽,規(guī)定誰比對方先多勝兩局誰就獲勝,比賽立即結(jié)束;若比賽進行完6局還沒有分出勝負(fù)則判第一局獲勝者為最終獲勝且結(jié)束比賽.比賽過程中,每局比賽甲獲勝的概率為,乙獲勝的概率為,每局比賽相互獨立.求:(1)比賽兩局就結(jié)束且甲獲勝的概率;(2)恰好比賽四局結(jié)束的概率;(3)在整個比賽過程中,甲獲勝的概率.
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【題目】某校100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖,其中成績分組區(qū)間如下:
組號 | 第一組 | 第二組 | 第三組 | 第四組 | 第五組 |
分組 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
(1)求圖中a的值;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,估計這100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的平均分;
(3)現(xiàn)用分層抽樣的方法從第3、4、5組中隨機抽取6名學(xué)生,將該樣本看成一個總體,從中隨機抽取2名,求其中恰有1人的分?jǐn)?shù)不低于90分的概率?
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【題目】已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一個圓.
(1) 求實數(shù)m的取值范圍;
(2) 求該圓半徑r的取值范圍;
(3) 求該圓心的縱坐標(biāo)的最小值.
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【題目】已知某運動員每次投籃命中的概率低于,現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率:先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三個隨機數(shù)為一組,代表三次投籃的結(jié)果,經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù):
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
據(jù)此估計,該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為( )
A. B. C. D.
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【題目】已知函數(shù)(其中是實數(shù))
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若設(shè),且有兩個極值點,,求取值范圍.(其中為自然對數(shù)的底數(shù))
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