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如圖2,已知任意兩個非零向量a、b,試作=a+b,=a+2b,=a+3b.你能判斷A、B、C三點之間的位置關系嗎?為什么?

圖2

活動:本例給出了利用向量共線判斷三點共線的方法,這是判斷三點共線常用的方法.教學中可以先引導學生作圖,通過觀察圖形得到A,B,C三點共線的猜想,再將平面幾何中判斷三點共線的方法轉化為用向量共線證明三點共線.本題只要引導學生理清思路,具體過程可由學生自己完成.另外,本題是一個很好的與信息技術整合的題材,教學中可以通過計算機作圖,進行動態(tài)演示,揭示向量a、b變化過程中,A、B、C三點始終在同一條直線上的規(guī)律.

圖3

解:如圖3,分別作向量、、,過點A、C作直線AC.觀察發(fā)現,不論向量a、b怎樣變化,點B始終在直線AC上,猜想A、B、C三點共線.

事實上,因為=-=a+2b-(a+b)=b,

而=-=a+3b-(a+b)=2b,

于是=2.

所以A、B、C三點共線.

點評:關于三點共線問題,學生接觸較多,這里是用向量證明三點共線,方法是必須先證明兩個向量共線,并且有公共點.教師引導學生解完后進行反思,體會向量證法的獨特新穎.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

下列四個命題中，真命題的序號有
①③④
①③④
（寫出所有真命題的序號）．
①兩個相互垂直的平面，一個平面內的任意一直線必垂直于另一平面內的無數條直線．
②圓x2+y2+4x+2y+1=0與直線y=
1
2
x相交，所得弦長為2．
③若sin（α+β）=
1
2
，sin（α-β）=
1
3
，則tanαcotβ=5．
④如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，P為底面ABCD內一動點，P到平面AA1D1D的距離與到直線CC1的距離相等，則P點的軌跡是拋物線的一部分．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）如圖，已知α、β是坐標平面內的任意兩個角，且0≤α-β≤π，證明兩角差的余弦公式：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）已知α∈(0，
π
2
)，β∈(
π
2
，π)，且cosβ=-
1
3
，sin(α+β)=
7
9
，求2cos2α+cos2α的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知點A（-2，0），點P是⊙B：（x-2）2+y2=36上任意一點，線段AP的垂直平分線交BP于點Q，點Q的軌跡記為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）已知⊙O：x2+y2=r2（r＞0）的切線l總與曲線C有兩個交點M、N，并且其中一條切線滿足∠MON＞90°，求證：對于任意一條切線l總有∠MON＞90°．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•江蘇二模）如圖，已知橢圓C：
x2
4
+y2=1，A、B是四條直線x=±2，y=±1所圍成的兩個頂點．
（1）設P是橢圓C上任意一點，若
OP
=m
OA
+n
OB
，求證：動點Q（m，n）在定圓上運動，并求出定圓的方程；
（2）若M、N是橢圓C上兩個動點，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，說明理由．

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