【題目】已知橢圓的離心率為,且經(jīng)過點
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在經(jīng)過點的直線,它與橢圓相交于兩個不同點,且滿足為坐標(biāo)原點)關(guān)系的點也在橢圓上,如果存在,求出直線的方程;如果不存在,請說明理由.
【答案】(1) ; (2)存在,
【解析】
(1)根據(jù)橢圓離心率為,得,將點代入橢圓方程,即可求解;
(2)分類討論當(dāng)斜率不存在時和斜率存在時直線是否滿足題意,聯(lián)立直線和橢圓的方程,結(jié)合韋達(dá)定理用點的坐標(biāo)代入運算即可求解.
解:(1)由橢圓的離心率為,得,再由點在橢圓上,得
解得,所以橢圓的方程為.
(2)因為點在橢圓內(nèi)部,經(jīng)過點的直線與橢圓恒有兩個交點,假設(shè)直線存在,
當(dāng)斜率不存在時,經(jīng)過點的直線的方程,與橢圓交點坐標(biāo)為
或,
當(dāng)時,
,
所以,,
點不在橢圓上;
當(dāng)時,
,
同上可得:不在橢圓上,
所以直線不合題意;
當(dāng)斜率存在時:設(shè)
,
設(shè),由韋達(dá)定理得
因為點在橢圓上,因此得,
由,
由于點也在橢圓上,則
,整理得,
,即
所以
因此直線的方程為
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正項等比數(shù)列,等差數(shù)列滿足,且是與的等比中項.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè),求數(shù)列的前項和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形CDEF為正方形,四邊形ABCD為梯形,,,,平面ABCD.
求BE與平面EAC所成角的正弦值;
線段BE上是否存在點M,使平面平面DFM?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,,E為AB的中點.將沿DE翻折,得到四棱錐.設(shè)的中點為M,在翻折過程中,有下列三個命題:
①總有平面;
②線段BM的長為定值;
③存在某個位置,使DE與所成的角為90°.
其中正確的命題是_______.(寫出所有正確命題的序號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)命題p:實數(shù)x滿足x2﹣4ax+3a2<0(a>0),命題q:實數(shù)x滿足x2﹣5x+6<0.
(1)若a=1,且p∧q為真命題,求實數(shù)x的取值范圍;
(2)若p是q的必要不充分條件,求實數(shù)a的取值范圍.
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【題目】已知直線為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程;
(2)求與直線平行,且被曲線截得的弦長為的直線的方程.
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【題目】某機構(gòu)對A市居民手機內(nèi)安裝的“APP”(英文Application的縮寫,一般指手機軟件)的個數(shù)和用途進(jìn)行調(diào)研,在使用智能手機的居民中隨機抽取了100人,獲得了他們手機內(nèi)安裝APP的個數(shù),整理得到如圖所示頻率分布直方圖:
(Ⅰ)從A市隨機抽取一名使用智能手機的居民,試估計該居民手機內(nèi)安裝APP的個數(shù)不低于30的概率;
(Ⅱ)從A市隨機抽取3名使用智能手機的居民進(jìn)一步做調(diào)研,用X表示這3人中手機內(nèi)安裝APP的個數(shù)在[20,40)的人數(shù).
①求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望;
②用Y1表示這3人中安裝APP個數(shù)低于20的人數(shù),用Y2表示這3人中手機內(nèi)安裝APP的個數(shù)不低于40的人數(shù).試比較EY1和EY2的大。(只需寫出結(jié)論)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的四個頂點圍成的四邊形的面積為,原點到直線的距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知定點,是否存在過的直線,使與橢圓交于,兩點,且以為直徑的圓過橢圓的左頂點?若存在,求出的方程:若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線的焦點為F,過F的動直線l交于M、N兩點.
(1)若l垂直于x軸,且線段MN的長為1,求的方程;
(2)若,求線段MN的中點P的軌跡方程;
(3)求的取值范圍.
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