Question

【題目】設(shè)函數(shù) ，若對(duì)任意的x∈R，f（x）＞x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�
A.（﹣2，e）
B.（﹣∞，e）
C.（1，+∞）
D.（﹣∞，1）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：設(shè) ，

依題意可知g（x）＞0恒成立，

⑴當(dāng)x＜0時(shí)， ，

∴a＞﹣2；

⑵當(dāng)x≥0時(shí)，f′（x）=ex﹣a，當(dāng)a∈（﹣2，1]時(shí)，f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增，

所以f（x）min=f（0）=1＞0，滿足題意；

當(dāng)a＞1時(shí)，令f′（x）=0，得x=lna，

當(dāng)x∈[0，lna）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈（lna，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，

所以當(dāng)x=lna時(shí)，f（x）取得極小值，且為最小值f（lna）=a﹣alna，

根據(jù)題意，a﹣alna＞0，所以1﹣lna＞0，lna＜1，a＜e，

∴a∈（1，e）．

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣2，e）．

故答案為：A．

由題意可得設(shè) g ( x ) = f ( x ) x，對(duì)分段函數(shù)進(jìn)行討論，當(dāng)x＜0時(shí)， g ( x )=a+()+(x)，根據(jù)基本不等式可得 g ( x )≥ a + 2 > 0， 即得a＞﹣2。當(dāng)x≥0時(shí)，求導(dǎo)可得f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增，即得f（x）min=f（0）=1＞0。利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)增減性和最小值，根據(jù)題意，a﹣alna＞0解得1<a＜e,綜上所述實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣2，e）。