Question

已知函數(shù)

   （I）討論在其定義域上的單調(diào)性；

   （II）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x的方程恰有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）1)時(shí)，在單調(diào)遞增；  2)時(shí)，在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增.   （Ⅱ）

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，通過導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系的研究得到函數(shù)的最值，并從而研究函數(shù)與方程的問題的綜合試題。

（1）對(duì)求導(dǎo)得然后分析根與定義域的位置關(guān)系來判定函數(shù)的單調(diào)性。

（2）要分析方程根的問題，可以轉(zhuǎn)化為圖像與圖像的交點(diǎn)問題來解決。

解：（Ⅰ）對(duì)求導(dǎo)得：；……2分

    則顯然有

當(dāng)時(shí)，即，時(shí)，，則：在單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增；

綜上可知：1)時(shí)，在單調(diào)遞增；

2)時(shí)，在單調(diào)遞減；在單調(diào)遞增.……6分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）可知：；于是：

當(dāng)時(shí)，，則：在單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，則：在單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，， ；

欲使方程恰有兩個(gè)不等實(shí)根，則有：