Question

【題目】如圖，設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)，長(zhǎng)軸在軸上，上頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，線(xiàn)段的中點(diǎn)分別為，且是面積為的直角三角形.

（1）求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)作直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，使，求的面積.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)是面積為的直角三角形，，可知為直角，從而，即，又，消去即得離心率，可得，從而求得橢圓方程；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入橢圓方程可得，根據(jù)韋達(dá)定理，可得，寫(xiě)出的坐標(biāo)，由于，據(jù)此可求得的值，因?yàn)?/span>的面積，所以求出即得的面積.

試題解析：（1）設(shè)橢圓的方程為，，∵是面積為的直角三角形，，∴為直角，從而，得，∵

，在中，，∴，∵

，∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由（1）知，由題意，直線(xiàn)的傾斜角不為，故可設(shè)直線(xiàn)的方程為，代入橢圓方程，消元可得，①

設(shè)，∵，

∴，∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)，①可化為，

∴，

∴的面積.