【題目】如圖1，在中， ， 分別為， 的中點，為的中點，，.將沿折起到的位置，使得平面平面，如圖2.

（1）求證：；

（2）求直線和平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）由題意可得，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，可證；

（2）以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，用向量的方法求直線和平面所成角的正弦值.

（1）連接.圖1中，，， 分別為， 的中點，，

即，又為的中點，.

又平面平面，且平面平面，平面，

平面，又平面，

.

（2）取中點，連接，則.

由（1）可知平面，平面.

以為原點，分別以所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示

，，.

，

.

設(shè)平面的法向量為，

則，即，令，則，.

設(shè)直線和平面所成的角為，則

，

所以直線和平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為24，16，16．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進行睡眠時間的調(diào)查．

（1）應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？

（2）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查．用X表示抽取的3人中睡眠充足的員工人數(shù)，求隨機變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著“互聯(lián)網(wǎng)＋交通”模式的迅猛發(fā)展，“共享助力單車”在很多城市相繼出現(xiàn)．某“共享助力單車”運營公司為了解某地區(qū)用戶對該公司所提供的服務(wù)的滿意度，隨機調(diào)查了100名用戶，得到用戶的滿意度評分（滿分10分），現(xiàn)將評分分為5組，如下表：

組別

一

二

三

四

五

滿意度評分

[0，2）

[2，4）

[4，6）

[6，8）

[8，10]

頻數(shù)

5

10

a

32

16

頻率

0.05

b

0.37

c

0.16

(1)求表格中的a，b，c的值；

(2)估計用戶的滿意度評分的平均數(shù)；

(3)若從這100名用戶中隨機抽取25人，估計滿意度評分低于6分的人數(shù)為多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)（單位：m3）和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：

未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

日用

水量

頻數(shù)

1

3

2

4

9

26

5

使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

日用

水量

頻數(shù)

1

5

13

10

16

5

（1）在答題卡上作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

（2）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35 m3的概率；

（3）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？（一年按365天計算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表．）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝（x﹣a）cosx﹣sinx，g（x）x3ax2，a∈R

（1）當(dāng)a＝1時，求函數(shù)y＝f（x）在區(qū)間（0，）上零點的個數(shù)；

（2）令F（x）＝f（x）+g（x），試討論函數(shù)y＝F（x）極值點的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一個工廠在某年連續(xù)10個月每月產(chǎn)品的總成本y（萬元）與該月產(chǎn)量x（萬件）之間有如下一組數(shù)據(jù)：

x

1.08

1.12

1.19

1.28

1.36

1.48

1.59

1.68

1.80

1.87

y

2.25

2.37

2.40

2.55

2.64

2.75

2.92

3.03

3.14

3.26

（1）通過畫散點圖，發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；

（2）①建立月總成本y與月產(chǎn)量x之間的回歸方程；

②通過建立的y關(guān)于x的回歸方程，估計某月產(chǎn)量為1.98萬件時，此時產(chǎn)品的總成本為多少萬元？

（均精確到0.001）

附注：①參考數(shù)據(jù)：，

，

②參考公式：相關(guān)系數(shù)，

回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某文體局為了解“跑團”每月跑步的平均里程，收集并整理了2018年1月至2018年11月期間“跑團”每月跑步的平均里程（單位：公里）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖.根據(jù)折線圖，下列結(jié)論正確的是（ ）

A. 月跑步平均里程的中位數(shù)為6月份對應(yīng)的里程數(shù)

B. 月跑步平均里程逐月增加

C. 月跑步平均里程高峰期大致在8、9月

D. 1月至5月的月跑步平均里程相對于6月至11月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】每年的月日是全國愛牙日，為了迎接這一節(jié)日，某地區(qū)衛(wèi)生部門成立了調(diào)查小組，調(diào)查“常吃零食與患齲齒的關(guān)系”，對該地區(qū)小學(xué)六年級名學(xué)生進行檢查，按患齲齒的不患齲齒分類，得匯總數(shù)據(jù)：不常吃零食且不患齲齒的學(xué)生有名，常吃零食但不患齲齒的學(xué)生有名，不常吃零食但患齲齒的學(xué)生有名．

（1）完成答卷中的列聯(lián)表，問：能否在犯錯率不超過的前提下，認(rèn)為該地區(qū)學(xué)生的常吃零食與患齲齒有關(guān)系？

（2）名區(qū)衛(wèi)生部門的工作人員隨機分成兩組，每組人，一組負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)收集，另一組負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)處理，求工作人員甲分到負(fù)責(zé)收集數(shù)據(jù)組，工作人員乙分到負(fù)責(zé)數(shù)據(jù)處理組的概率．

附：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知平面 平面， 與分別是棱長為1與2的正三角形， // ，四邊形為直角梯形， // ， ，點為的重心， 為中點， .

（Ⅰ）當(dāng)時，求證： //平面；

（Ⅱ）若直線與所成角為，試求二面角的余弦值.

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