Question

已知正數(shù)x，y滿(mǎn)足x+2y=3，當(dāng)xy取得最大值時(shí)，過(guò)點(diǎn)P（x，y）引圓(x-

1

2

)2+(y+

1

4

)2=

1

2

的切線，則此切線段的長(zhǎng)度為（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  3

  2

• C．

  6

  2

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：利用基本不等式求出 xy≤

9

8

，此時(shí)點(diǎn)P（

3

2

，

3

4

），求出點(diǎn)P到圓心（

1

2

，-

1

4

）的距離d 及圓的半徑，由勾股定理可得切線段的長(zhǎng)度為

d2-r2

=

6

2

．

解答：解：∵正數(shù)x，y滿(mǎn)足x+2y=3，
∴3≥2

x•2y

，xy≤

9

8

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=

3

2

，即 x=

3

2

，y=

3

4

時(shí)，等號(hào)成立，
故點(diǎn)P（

3

2

，

3

4

）．
由于點(diǎn)P到圓心（

1

2

，-

1

4

）的距離d=

1+1

=

2

，半徑r=

2

2

，
由勾股定理可得切線段的長(zhǎng)度為

d2-r2

=

6

2

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，直線和圓的位置關(guān)系，求出點(diǎn)P（

3

2

，

3

4

），是解題的關(guān)鍵．