已知函數(shù)f(x)=
1 ( 當(dāng)x為有理數(shù)時(shí))
0(當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí))
，給出下列關(guān)于f（x）的性質(zhì)：
①f（x）是周期函數(shù)，3是它的一個(gè)周期；②f（x）是偶函數(shù)；③方程f（x）=cosx有有理根；④方程f[f（x）]=f（x）與方程f（x）=1的解集相同
正確的個(gè)數(shù)為（　�。�
A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)
分析：本題綜合的考查了函數(shù)的性質(zhì)，我們可以根據(jù)周期函數(shù)、函數(shù)奇偶性結(jié)合方程思想，特殊值代入驗(yàn)證法，對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一進(jìn)行判斷，最后得到結(jié)論．
解答：解：當(dāng)T=3，則當(dāng)x為有有理數(shù)時(shí)，x+3也為有理數(shù)，則f（x+3）=f（x）；
則當(dāng)x為有無(wú)理數(shù)時(shí)，x+3也為無(wú)理數(shù)，則f（x+3）=f（x）；
故T為函數(shù)的周期，即f（x）是周期函數(shù)，3是它的一個(gè)周期，故①正確；
若x為有理數(shù)，則-x也為有理數(shù)，則f（-x）=f（x）；
若x為無(wú)理數(shù)，則-x也為無(wú)理數(shù)，則f（-x）=f（x）；
故f（x）是偶函數(shù)，故②正確
存在有理數(shù)0，使得f（x）=cosx=0成立
故方程f（x）=cosx有有理根，即③正確；
方程f[f（x）]=f（x）可等價(jià)變形為f（x）=1
故方程f[f（x）]=f（x）與方程f（x）=1的解集相同，故④正確
故選D
點(diǎn)評(píng)：要判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性，我們需要經(jīng)過(guò)兩個(gè)步驟：①判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②判斷f（-x）與f（x）的值是相等還是相反．反之，當(dāng)已知函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)時(shí)，要注意此時(shí)函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（-x）與f（x）的值是相反或相等．要判斷一一個(gè)函數(shù)是否為周期函數(shù)，則要判斷f（x+T）=f（X）是否恒成立．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
．若角α在第一象限且cosα=
3
5
，求f(α)．
（2）函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx的圖象按向量
m
=(
π
6
，-1)平移后，得到一個(gè)函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex，若同時(shí)滿足條件：
①?x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)；
②?x∈（8，+∞），f（x）＞0．
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
．
（1）如果a＞0，函數(shù)在區(qū)間(a，a+
1
2
)上存在極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
，(x＞1)
x2+1，(-1≤x≤1)
2x+3，(x＜-1)
．
（1）求f(
1
2
-1
)與f（f（1））的值；
（2）若f(a)=
3
2
，求a的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

定義在D上的函數(shù)f（x）如果滿足：對(duì)任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，求m的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案