Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2+bx+c，曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=1
（1）求b，c的值；
（2）若a＞0，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)已知函數(shù)g（x）=f（x）+2x，且g（x）在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由切點(diǎn)坐標(biāo)及切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值為0，列一方程組，解出即可；
（2）在a＞0的條件下，解不等式f′（x）＞0及f′（x）＜0即可；
（3）g（x）在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間，即g′（x）＜0在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)有解，由此可求a的范圍．

解答：解：（1）f′（x）=x²-ax+b．由題意得

f(0)=1 f′(0)=0

，即

c=1 b=0

．
所以b=0，c=1．
（2）由（1）得f′（x）=x²-ax=x（x-a）（a＞0）．
當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（0，a）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（a，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0），（a，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（0，a）．
（3）g′（x）=x²-ax+2，依題意，存在x∈（-2，-1），使不等式g′（x）=x²-ax+2＜0成立．
當(dāng)x∈（-2，-1）時(shí)，a＜x+

2

x

≤-2

2

，
所以滿足要求的a的取值范圍是a∈(-∞，-2

2

)．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及分析問題解決問題的能力，（3）問的解決關(guān)鍵是對問題準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化．