Question

已知函數(shù)，，其中且．

(Ⅰ) 當(dāng)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(Ⅱ) 若時(shí)，函數(shù)有極值，求函數(shù)圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù) （是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），是否存在a使在上為減函數(shù)，若存在，求實(shí)數(shù)a的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）單調(diào)增區(qū)間是；（2）對(duì)稱中心坐標(biāo)為；（3）符合條件的滿足.

【解析】

試題分析：本題綜合考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間、極值等數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，突出考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法分析問題解決問題的能力.第一問，先將代入，得到的表達(dá)式，對(duì)其求導(dǎo)，令大于0，解不等式，得出增區(qū)間；第二問，由于當(dāng)時(shí)函數(shù)有極值，所以是的根，代入得出的值，代入中得到具體解析式，可以看出的對(duì)稱中心，而到圖像是經(jīng)過平移得到的，所以經(jīng)過平移，得到對(duì)稱中心坐標(biāo)，假設(shè)存在，試試看能不能求出來，對(duì)求導(dǎo)，得到的兩個(gè)根分別為1和，通過討論兩根的大小，出現(xiàn)3種情況在每一種情況下，討論單調(diào)性，最后總結(jié)出符合題意的的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)，，

設(shè)，即，

所以或，

單調(diào)增區(qū)間是.

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極值，

所以，且，即，

所以，

所以的圖像可由的圖像向下平移16個(gè)單位長(zhǎng)度得到，

而的圖像關(guān)于對(duì)稱，

所以函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心坐標(biāo)為.

（Ⅲ）假設(shè)存在使在上為減函數(shù)，

，

（1）當(dāng)時(shí)，，在定義域上為增函數(shù)，不合題意；

（2）當(dāng)時(shí)，由得：，在上為增函數(shù)，則在上也為增函數(shù)，也不合題意；

（3）當(dāng)時(shí)，由得：，若，無解，則，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032710422977145360/SYS201403271044168168993875_DA.files/image025.png">在上為減函數(shù)，則在上為減函數(shù)，在上為減函數(shù)，且，則.由，得.

綜上所述，符合條件的滿足.

考點(diǎn)：1.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2.函數(shù)圖像的平移.