Question

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A＝，M是CC1的中點(diǎn)．

(1)求證：A1B⊥AM；

(2)求二面角B ?AM?C的平面角的大小．.

 

Answer 1

（1）見解析（2）45°

【解析】(1)以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CB、CA、CC1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C－xyz，如圖所示，

則B(1,0,0)，A(0，，0)，A1(0，，)，M.

所以＝(1，－，－)，＝.

因?yàn)?/span>·＝1×0＋(－)×(－)＋(－)×＝0，所以A1B⊥AM.

(2)因?yàn)?/span>ABC ?A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又BC?平面ABC，所以CC1⊥BC.

因?yàn)?/span>∠ACB＝90°，即BC⊥AC，又AC∩CC1＝C，所以BC⊥平面ACC1A1，即BC⊥平面AMC.

所以是平面AMC的一個法向量，＝(1,0,0)．

設(shè)n＝(x，y，z)是平面BAM的一個法向量，＝(－1，，0)，＝.

由得，令z＝2，得x＝，y＝.

所以n＝(，，2)

因?yàn)?/span>||＝1，|n|＝2，所以cos〈，n〉＝＝，

因此二面角B ?AM?C的大小為45°