Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域為全體R，當x＜0時，f（x）＞1，且對任意的實數(shù)x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立，數(shù)列{a_n}滿足a₁=f（0），且f(an+1)=

1

f( -an 2an+1 )

（n∈N^*）
（Ⅰ）求證：y=f（x）是R上的減函數(shù)；          
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）若不等式

k

(1+a1)(1+a2)…(1+an)

-

1

2n+1

≤0對一切n∈N^*均成立，求k的最大值．

Answer 1

分析：（I）令x=-1，y=0，代入題設(shè)等式中求得f（0）=1，進而求得a₁，先當x＞0時根據(jù)f（0）=f（-x）•f（x）推斷出0＜f（x）＜1，設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，進而可知0＜f（x₂-x₁）＜1，利用f（x+y）=f（x）f（y）求得f（x₂）-f（x₁）＜0，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義推斷出函數(shù)為減函數(shù)．
（II）根據(jù)由 f(an+1)=

1

f( -an 2an+1 )

和f（x+y）=f（x）f（y）整理求得

1

an+1

=

1

an

+2進而可判斷出{

1

an

}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列．進而根據(jù)等差數(shù)列通項公式求得a_n．
（III）把題設(shè)中的不等式整理成 k≤

(1+a1)(1+a2)…(1+an)

2n+1

，設(shè)出 F(n)=

(1+a1)(1+a2)…(1+an)

2n+1

，進而表示出F（n+1），進而求得

F(n+1)

F(n)

＞1進而推斷出F（n）為關(guān)于n的單調(diào)增函數(shù)，進而根據(jù) F(n)≥F(1)=

2 3

3

求得k的最大值．

解答：解：（Ⅰ）令x=-1，y=0，得f（-1）=f（-1）•f（0），
由題意知f（-1）≠0，所以f（0）=1，故a₁=f（0）=1． 
當x＞0時，-x＜0，f（0）=f（-x）•f（x）=1，進而得0＜f（x）＜1．
設(shè)x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，0＜f（x₂-x₁）＜1，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₁+（x₂-x₁））-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＜0．
即f（x₂）＜f（x₁），所以y=f（x）是R上的減函數(shù)．       …-（4分）
（Ⅱ）由f(an+1)=

1

f( -an 2an+1 )

得  f(an+1)f(

-an

2an+1

)=1，所以f(an+1-

an

2an+1

)=f(0)．
因為y=f（x）是R上的減函數(shù)，所以an+1-

an

2an+1

=0，…（6分）
即an+1=

an

2an+1

，進而

1

an+1

=

1

an

+2，所以{

1

an

}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列．
所以

1

an

=1+(n-1)×2=2n-1，所以．     an=

1

2n-1

…9
（Ⅲ）由

k

(1+a1)(1+a2)…(1+an)

-

1

2n+1

≤0對一切n∈N^*均成立．
知k≤

(1+a1)(1+a2)…(1+an)

2n+1

對一切n∈N^*均成立． 設(shè)F(n)=

(1+a1)(1+a2)…(1+an)

2n+1

，
知F（n）＞0且F(n+1)=

(1+a1)(1+a2)…(1+an)(1+an+1)

2n+3

又

F(n+1)

F(n)

=

2(n+1)

2n+1 2n+3

=

2(n+1)

4(n+1)2-1

＞1．
故F（n）為關(guān)于n的單調(diào)增函數(shù)，F(n)≥F(1)=

2 3

3

．  
所以k≤

2 3

3

，k的最大值為

2 3

3

…（14分）

點評：本題主要考查了數(shù)列與函數(shù)的綜合，利用了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性來解決數(shù)列的問題，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．