Question

（Ⅰ）已知函數(shù),若存在，使得,則稱是函數(shù)的一個不動點(diǎn)，設(shè)二次函數(shù).
(Ⅰ) 當(dāng)時，求函數(shù)的不動點(diǎn)；
(Ⅱ) 若對于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有兩個不同的不動點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的條件下，若函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)的不動點(diǎn)，且直線是線段的垂直平分線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

(Ⅰ)函數(shù)的不動點(diǎn)為 。
（Ⅱ） 
（Ⅲ）實(shí)數(shù)的取值范圍.

解析試題分析：
思路分析：(Ⅰ) 解方程確定函數(shù)的不動點(diǎn)為 。
（Ⅱ）由題意，得到方程恒有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
根據(jù)判別式，解得 。
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)的兩個不同的不動點(diǎn)為得到,，
且是的兩個不等實(shí)根， 得到
直至中點(diǎn)坐標(biāo)為。根據(jù)
，且在直線上得到a,b的關(guān)系。
解：(Ⅰ) 當(dāng)時，，
解，得。
所以函數(shù)的不動點(diǎn)為 。
（Ⅱ）因?yàn)?對于任意實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有兩個不同的不動點(diǎn)，
所以，對于任意實(shí)數(shù)，方程恒有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
即方程恒有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
所以 ，
即 對于任意實(shí)數(shù)，，
所以  ，解得  
（Ⅲ）設(shè)函數(shù)的兩個不同的不動點(diǎn)為，則,
且是的兩個不等實(shí)根， 所以
直線的斜率為1，線段中點(diǎn)坐標(biāo)為
因?yàn)?直線是線段的垂直平分線，
所以 ，且在直線上
則       
所以  當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立
又      所以 實(shí)數(shù)的取值范圍.
考點(diǎn)：新定義問題，均值定理的應(yīng)用，一元二次方程根的研究。
點(diǎn)評：難題，本題給出“不動點(diǎn)”的概念，解題過程中，應(yīng)注意理解并應(yīng)用這一概念。將問題轉(zhuǎn)化成一元二次方程問題，結(jié)合直線方程，應(yīng)用均值定理，達(dá)到解題目的。