Question

【題目】小明下班回家途經(jīng)3個(gè)有紅綠燈的路口，交通法規(guī)定：若在路口遇到紅燈，需停車等待；若在路口沒(méi)遇到紅燈，則直接通過(guò).經(jīng)長(zhǎng)期觀察發(fā)現(xiàn)：他在第一個(gè)路口遇到紅燈的概率為，在第二、第三個(gè)道口遇到紅燈的概率依次減小，在三個(gè)道口都沒(méi)遇到紅燈的概率為，在三個(gè)道口都遇到紅燈的概率為，且他在各路口是否遇到紅燈相互獨(dú)立.

（1）求小明下班回家途中至少有一個(gè)道口遇到紅燈的概率；

（2）求小明下班回家途中在第三個(gè)道口首次遇到紅燈的概率；

（3）記為小明下班回家途中遇到紅燈的路口個(gè)數(shù)，求數(shù)學(xué)期望.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)對(duì)立事件的概率關(guān)系結(jié)合已知，即可求解；

（2）設(shè)第二、三個(gè)道口遇到紅燈的概率分別為，根據(jù)已知列出關(guān)于方程組，求得，即可求出結(jié)論；

（3）的可能值為分別求出概率，得出隨機(jī)變量的分布列，由期望公式，即可求解.

（1）因?yàn)樾∶髟谌齻�(gè)道口都沒(méi)遇到紅燈的概率為，

所以小明下班回家途中至少有一個(gè)道口遇到紅燈的概率為；

（2）設(shè)第二、三個(gè)道口遇到紅燈的概率分別為，

依題意解得或（舍去），

所以小明下班回家途中在第三個(gè)道口首次遇到紅燈的概率；

（3）的可能值為，

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分布列為