Question

【題目】某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，圖（1）、（2）、（3）、（4）為她們刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮，現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡（小正方形的擺放規(guī)律相同），設(shè)第n個(gè)圖形包含f（n）個(gè)小正方形．
（Ⅰ）求出f（5）；
（Ⅱ）利用合情推理的“歸納推理思想”歸納出f（n+1）與f（n）的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求f（n）的表達(dá)式．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（1）=1，f（2）=5，f（3）=13，f（4）=25， ∴f（2）﹣f（1）=4=4×1．
f（3）﹣f（2）=8=4×2，
f（4）﹣f（3）=12=4×3，
f（5）﹣f（4）=16=4×4
∴f（5）=25+4×4=41．
（Ⅱ）由上式規(guī)律得出f（n+1）﹣f（n）=4n．
∴f（2）﹣f（1）=4×1，
f（3）﹣f（2）=4×2，
f（4）﹣f（3）=4×3，
…
f（n﹣1）﹣f（n﹣2）=4（n﹣2），
f（n）﹣f（n﹣1）=4（n﹣1）
∴f（n）﹣f（1）=4[1+2+…+（n﹣2）+（n﹣1）]=2（n﹣1）n，
∴f（n）=2n2﹣2n+1
【解析】（I）先分別觀察給出正方體的個(gè)數(shù)為：1，1+4，1+4+8，…從而得出f（5）；（II）將（I）總結(jié)一般性的規(guī)律：f（n+1）與f（n）的關(guān)系式，再從總結(jié)出來的一般性的規(guī)律轉(zhuǎn)化為特殊的數(shù)列再求解即得．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了歸納推理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握根據(jù)一類事物的部分對(duì)象具有某種性質(zhì),退出這類事物的所有對(duì)象都具有這種性質(zhì)的推理,叫做歸納推理才能正確解答此題．