(2012•泉州模擬)(1)選修4-2:矩陣與變換
若二階矩陣M滿足M
12
34
=
710
46

(Ⅰ)求二階矩陣M;
(Ⅱ)把矩陣M所對應(yīng)的變換作用在曲線3x2+8xy+6y2=1上,求所得曲線的方程.
(2)選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
已知在直角坐標系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為
x=2tcosθ
y=2sinθ
(t為非零常數(shù),θ為參數(shù)),在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,直線l的方程為ρsin(θ-
π
4
)=2
2

(Ⅰ)求曲線C的普通方程并說明曲線的形狀;
(Ⅱ)是否存在實數(shù)t,使得直線l與曲線C有兩個不同的公共點A、B,且
OA
OB
=10
(其中O為坐標原點)?若存在,請求出;否則,請說明理由.
(3)選修4-5:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|x-2|+|x-4|的最小值為m,實數(shù)a,b,c,n,p,q滿足a2+b2+c2=n2+p2+q2=m.
(Ⅰ)求m的值;
(Ⅱ)求證:
n4
a2
+
p4
b2
+
q4
c2
≥2
分析:(1)(Ⅰ)記矩陣A=
12
34
,可得|A|=-2,A-1,再根據(jù)M=
710
46
A-1
運算求得結(jié)果.
(Ⅱ)設(shè)二階矩陣M所對應(yīng)的變換為
x′
y′
=
12
11
x
y
,可得
x′=x+2y
y′=x+y
,代入曲線方程3x2+8xy+6y2=1,
化簡可得x'2+2y'2=1.由可求得曲線的方程.
(2)(Ⅰ)由于t≠0,可將曲線C的方程化為普通方程:
x2
t2
+y2=4
,分t=±1和t≠±1時,分別討論曲線
的形狀.
(Ⅱ)求出直線l的普通方程,與曲線的方程聯(lián)立方程組,由判別式大于零解得t2>3,利用韋達定理求出
x1+x2=-
8t2
1+t2
x1x2=
12t2
1+t2
,代入
OA
OB
=10
 求得t2=3,出現(xiàn)矛盾,從而得出結(jié)論.
(3)(Ⅰ)利用絕對值的幾何意義可得 f(x)的最小值等于2,再由函數(shù)f(x)=|x-2|+|x-4|的最小值為m,從而得到m的值等于2.
(Ⅱ)把不等式左邊化為[(
n2
a
)
2
+(
p2
b
)
2
+(
q2
c
)
2
]
 乘以(a2+b2+c2),再利用基本不等式證得結(jié)論.
解答:(1)解:(Ⅰ)記矩陣A=
12
34
,故|A|=-2,故A-1=
-21
3
2
-
1
2
.…(2分)
由已知得M=
710
46
A-1=
710
46
-21
3
2
-
1
2
=
12
11
.…(3分)
(Ⅱ)設(shè)二階矩陣M所對應(yīng)的變換為
x′
y′
=
12
11
x
y
,得
x′=x+2y
y′=x+y
,
解得
x=-x′+2y′
y=x′-y′
,…(5分)
又3x2+8xy+6y2=1,故有3(-x'+2y')2+8(-x'+2y')(x'-y')+6(x'-y')2=1,
化簡得x'2+2y'2=1. 故所得曲線的方程為x2+2y2=1.…(7分)
(2)解:(Ⅰ)∵t≠0,∴可將曲線C的方程化為普通方程:
x2
t2
+y2=4
.…(1分)
①當t=±1時,曲線C為圓心在原點,半徑為2的圓;  …(2分)
②當t≠±1時,曲線C為中心在原點的橢圓.…(3分)
(Ⅱ)直線l的普通方程為:x-y+4=0.…(4分)
聯(lián)立直線與曲線的方程,消y得
x2
t2
+(x+4)2=4
,化簡得(1+t2)x2+8t2x+12t2=0.
若直線l與曲線C有兩個不同的公共點,則△=64t4-4(1+t2)•12t2>0,解得t2>3.…(5分)
x1+x2=-
8t2
1+t2
,x1x2=
12t2
1+t2
,…(6分)
OA
OB
=x1x2+y1y2=x1x2+(x1+4)(x2+4)
=2x1x2+4(x1+x2)+16=10.
解得t2=3與t2>3相矛盾. 故不存在滿足題意的實數(shù)t.…(7分)
(3)解:(Ⅰ)∵f(x)=|x-2|+|x-4|≥|(x-2)-(x-4)|=2,…(2分)當且僅當2≤x≤4時,等號成立.
再由函數(shù)f(x)=|x-2|+|x-4|的最小值為m,可得m=2.…(3分)
(Ⅱ)[(
n2
a
)2+(
p2
b
)2+(
q2
c
)2]•(a2+b2+c2)
≥(
n2
a
•a+
p2
b
•b+
q2
c
•c)2
,…(5分)
即:(
n4
a2
+
p4
b2
+
q4
c2
)×2≥
(n2+p2+q22=4,
n4
a2
+
p4
b2
+
q4
c2
≥2
.…(7分)
點評:本題主要考查矩陣、逆矩陣、曲線的線性變換等基礎(chǔ)知識.曲線的參數(shù)方程、直線的極坐標方程等基礎(chǔ)知識.絕對值的幾何意義、柯西不等式等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力以及推理論證能力,及函數(shù)與方程思想,屬于中檔題.
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12
的下方,求a的取值范圍;
(Ⅲ)記f′(x)為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù).若a=1,試問:在區(qū)間[1,10]上是否存在k(k<100)個正數(shù)x1,x2,x3…xk,使得f′(x1)+f'(x2)+f′(x3)+…+f′(xk)≥2012成立?請證明你的結(jié)論.

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1
2012
)+f(
2
2012
)+…+f(
4022
2012
)+f(
4023
2012
)
=(  )

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