已知與圓C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切的直線l交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，

OA|＝a，|OB|＝b(a>2，b>2)．

(Ⅰ)求證：(a－2)(b－2)＝2；

(Ⅱ)求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程；

(Ⅲ)求△AOB面積的最小值．

 

【答案】

(Ⅰ)見解析 (Ⅱ) (x－1)(y－1)＝ (x>1，y>1) (Ⅲ) 3＋2

【解析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線和圓的方程的應(yīng)用，軌跡方程，直線與圓的位置關(guān)系，考查的解題方法為坐標(biāo)法，難度中等．

（1）由已知中圓C：x2+y2-2x-2y+1=0，直線交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)|OA|=a，|OB|=b，我們?cè)O(shè)以分別求出直線的一般方程，和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑得到結(jié)論；

（2）設(shè)線段AB的中點(diǎn)M（x，y），代入（1）的結(jié)論，整理后，即可得到答案；

（3）S△AOB= |ab|，結(jié)合（1）的結(jié)論，及均值不等式，即可得到答案．

 (Ⅰ)證明：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x－1)2＋(y－1)2＝1，設(shè)直線方程為＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，圓心到該直線的距離d＝＝1，………………………2分

即a2＋b2＋a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝a2＋b2，即a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝0，即ab＋2－2a－2b＝0，即(a－2)(b－2)＝2.……………………………4分

(Ⅱ)設(shè)AB中點(diǎn)M(x，y)，則a＝2x，b＝2y，代入(a－2)(b－2)＝2，得(x－1)(y－1)＝ (x>1，y>1).……………………………………………………………8分

(Ⅲ)由(a－2)(b－2)＝2得ab＋2＝2(a＋b)≥4，解得≥2＋ (舍去≤2－)，………………………………………………………………………10分

當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，ab取最小值6＋4，所以△AOB面積的最小值是3＋2.…12分

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知定圓C：x2+（y-3）2=4，定直線m：x+3y+6=0，過A（-1，0）的一條動(dòng)直線l與直線相交于N，與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，M是PQ中點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)l與m垂直時(shí)，求證：l過圓心C；
（Ⅱ）當(dāng)|PQ|=2
3
時(shí)，求直線l的方程；
（Ⅲ）設(shè)t=
AM
•
AN
，試問t是否為定值，若為定值，請(qǐng)求出t的值；若不為定值，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知與圓C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線l交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且|OA|=a，|OB|=b
（a＞2，b＞2）．
（1）求直線l與圓C相切的條件；
（2）在（1）的條件下，求線段AB的中點(diǎn)軌跡方程；
（3）在（1）的條件下，求△AOB面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知與圓C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線交x軸于A點(diǎn)，交y軸于B點(diǎn)，O為原點(diǎn)，|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．則線段AB中點(diǎn)的軌跡方程為
2xy-2x-2y-1=0（x＞0，y＞0）
2xy-2x-2y-1=0（x＞0，y＞0）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知與圓C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線l交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．
（1）求a與b滿足的關(guān)系；
（2）在 （1）的條件下，求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定圓C：x2+（y-3）2=4，過點(diǎn)A（-1，0）的一條動(dòng)直線l與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，若|PQ|=2
3
，則直線l的方程為（　　）

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