Question

（2013•泉州模擬）定義域?yàn)镈的函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．若對(duì)?x∈D，均有f（x）＜f′（x），則稱函數(shù)f（x）為D上的夢(mèng)想函數(shù)．
（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=sinx，試判斷f（x）是否為其定義域上的夢(mèng)想函數(shù)，并說明理由；
（Ⅱ）已知函數(shù)g（x）=ax+a-1（a∈R，x∈（0，π））為其定義域上的夢(mèng)想函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）已知函數(shù)h（x）=sinx+ax+a-1（a∈R，x∈[0，π]）為其定義域上的夢(mèng)想函數(shù)，求a的最大整數(shù)值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）按照夢(mèng)想函數(shù)的定義舉反例即可；
（Ⅱ）求出g′（x）=a，由g（x）為（0，π）上為夢(mèng)想函數(shù)，得ax+a-1＜a在x∈（0，π）上恒成立，分離出參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決；
（Ⅲ）求出h'（x）=cosx+a，由題意得h'（x）＞h（x）在x∈[0，π]恒成立，即ax＜cosx-sinx+1在x∈[0，π]上恒成立．x=0時(shí)易判斷成立；當(dāng)0＜x≤π時(shí)，可得a＜

cosx-sinx+1

x

對(duì)任意x∈（0，π]恒成立．令F(x)=

cosx-sinx+1

x

，利用導(dǎo)數(shù)可求得F（x）的最小值及其范圍，從而得到a的范圍，進(jìn)而得到答案；

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=sinx不是其定義域上的夢(mèng)想函數(shù)．
理由如下：f（x）=sinx的定義域D=R，f'（x）=cosx，
存在x=

π

3

，使f(

π

3

)＞f′(

π

3

)，
故函數(shù)h（x）=sinx不是其定義域D=R上的夢(mèng)想函數(shù)．
（Ⅱ）g（x）=ax+a-1，g'（x）=a，
若函數(shù)g（x）=ax+a-1在x∈（0，π）上為夢(mèng)想函數(shù)，
則ax+a-1＜a在x∈（0，π）上恒成立，即a＜

1

x

在x∈（0，π）上恒成立，
因?yàn)?span id="fv3rpwq" class="MathJye">y=

1

x

在x∈（0，π）內(nèi)的值域?yàn)?span id="is7eiax" class="MathJye">(

1

π

，+∞)，
所以a≤

1

π

．
（Ⅲ）h'（x）=cosx+a，由題意h'（x）＞h（x）在x∈[0，π]恒成立，
故cosx+a＞sinx+ax+a-1，即ax＜cosx-sinx+1在x∈[0，π]上恒成立．
①當(dāng)x=0時(shí)，a•0＜cos0-sin0+1=2顯然成立；
②當(dāng)0＜x≤π時(shí)，由ax＜cosx-sinx+1，可得a＜

cosx-sinx+1

x

對(duì)任意x∈（0，π]恒成立．
令F(x)=

cosx-sinx+1

x

，則F′(x)=

(-sinx-cosx)•x-(cosx-sinx+1)

x2

，
令k（x）=（-sinx-cosx）•x-（cosx-sinx+1），
則k′(x)=(sinx-cosx)•x=

2

x•sin(x-

π

4

)．
當(dāng)x∈(0，

π

4

]時(shí)，因?yàn)閗'（x）≤0，所以k（x）在(0，

π

4

]單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈(

π

4

，π]時(shí)，因?yàn)閗'（x）≥0，所以k（x）在(

π

4

，π]單調(diào)遞增．
∵k（0）=-2＜0，k(

π

4

)=-

2

4

π-1＜0，
∴當(dāng)x∈(0，

π

4

]時(shí)，k（x）的值均為負(fù)數(shù)．
∵k(

π

4

)=-

2

4

π-1＜0，k（π）=π＞0，
∴當(dāng)x∈(

π

4

，π]時(shí)，k（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)x₀，且x0∈(

π

4

，π)．
∴當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，k（x）＜0，所以F'（x）＜0，可得F（x）在（0，x₀）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x₀，π）時(shí)，k（x）＞0，所以F'（x）＞0，可得F（x）在（x₀，π）單調(diào)遞增．
則F(x)min=F(x0)=

cosx0-sinx0+1

x0

．
因?yàn)閗（x₀）=0，所以cosx₀-sinx₀+1=（-sinx₀-cosx₀）•x₀，
F(x)min=F(x0)=-sinx0-cosx0=-

2

sin(x0+

π

4

)．
∵k（x）在(

π

4

，π]上單調(diào)遞增，k(

π

2

)=-

π

2

＜0，k(

3π

4

)=

2

-1＞0，
∴

π

2

＜x0＜

3π

4

，
所以-1＜-

2

sin(x0+

π

4

)＜0，即-1＜F（x₀）＜0．
又因?yàn)閍＜F（x₀），所以a的最大整數(shù)值為-1．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等．