Question

已知a∈R，函數(shù)f(x)=

a

x

+lnx-1，g(x)=(lnx-1)

e

x

+x（其中e為自然對數(shù)的底）．
（1）當a＞0時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上的最小值；
（2）是否存在實數(shù)x₀∈（0，e]，使曲線y=g（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直？若存在求出x₀的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）得出f′（x）=-

a

x2

+ 

1

x

=

x-a

x2

，利用函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關系尋求f（x）在區(qū)間（0，e]上單調(diào)性，得出最小值．
（2）曲線y=g（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直，等價于g′（x₀）=0有實數(shù)根．g′（x）=

1

x

•e^x+（lnx-1）e^x+1=（

1

x

+lnx-1）e^x+1其中括號內(nèi)部分正好為當a=1時，f(x)=

1

x

+lnx-1，利用（1）的結(jié)論，得出g′（x）＞0，所以方程g′（x₀）=0無實數(shù)根，故不存在．

解答：解：（1）∵f(x)=

a

x

+x+lnx-1∴f′（x）=-

a

x2

+ 

1

x

=

x-a

x2

，令f′（x）=0得，x=a，
①若0＜a＜e，當x∈（0，a）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，a）上單調(diào)遞減，當x∈（a，e）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，e）上單調(diào)遞增，
所以當x=a時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上取得最小值lna．
②若a≥e，則f′（x）≤0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上單調(diào)遞減，所以當x=e時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上取得最小值

a

e

．；
綜上所述，當0＜a＜e時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上取得最小值lna，當a≥e時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e]上取得最小值

a

e

．；
（2）不存在．證明如下
g(x)=(lnx-1)

e

x

+x，x∈（0，e]，
∴g′（x）=

1

x

•e^x+（lnx-1）e^x+1=（

1

x

+lnx-1）e^x+1
由（1）知，當a=1時，f(x)=

1

x

+lnx-1，此時f（x）在區(qū)間（0，e]上取得最小值ln1=0，即

1

x

+lnx-1≥0，而e^x＞0，所以g′（x）≥1＞0，
又曲線y=g（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直，等價于g′（x₀）=0有實數(shù)根，而g′（x）＞0，所以方程g′（x₀）=0無實數(shù)根，
故不存在實數(shù)x₀∈（0，e]，使曲線y=g（x）在點x=x₀處的切線與y軸垂直．

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關系，函數(shù)最值求解，導數(shù)的幾何意義，考查分類討論、轉(zhuǎn)化、整體代換、計算能力．是好題．