Question

（本小題共13分）在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，公比為，且， ．

（Ⅰ）求與；

（Ⅱ）證明：≤．

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）設(shè)的公差為，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601110591788514/SYS201205260112326209279495_DA.files/image003.png">所以

解得 或（舍），．

故  ，．                ……………6分

（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601110591788514/SYS201205260112326209279495_DA.files/image010.png">，

所以．                   ………9分

故

．                                       ………11分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601110591788514/SYS201205260112326209279495_DA.files/image015.png">≥，所以≤，于是≤，

所以≤．

即≤．                        ……………13分

【解析】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查學(xué)生利用基本量思想和方程思想的解題能力。清晰數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式聯(lián)立方程求解是解決本類題目常用的解題思路，考查學(xué)生的計(jì)算能力。在數(shù)列求和問(wèn)題中，由于題目的千變?nèi)f化，使得不少同學(xué)一籌莫展，方法老師也介紹過(guò)，就不清楚什么特征用什么方法.為此提供一個(gè)通法 “特征聯(lián)想法”：就是抓住數(shù)列的通項(xiàng)公式的特征，再去聯(lián)想常用數(shù)列的求和方法.通項(xiàng)公式作為數(shù)列的靈魂，只有抓住它的特征，才能對(duì)號(hào)入座，得到求和方法.

特征一：，數(shù)列的通項(xiàng)公式能夠分解成幾部分，一般用“分組求和法”.特征二：，數(shù)列的通項(xiàng)公式能夠分解成等差數(shù)列和等比數(shù)列的乘積，一般用“錯(cuò)位相減法”.特征三：，數(shù)列的通項(xiàng)公式是一個(gè)分式結(jié)構(gòu)，一般采用“裂項(xiàng)相消法”.特征四：，數(shù)列的通項(xiàng)公式是一個(gè)組合數(shù)和等差數(shù)列通項(xiàng)公式組成，一般采用“倒序相加法”.本題第二問(wèn)采用裂項(xiàng)相消法，結(jié)合不等式的放縮法進(jìn)行證明.